Noncentral F-Distribution

Author

Eric W. Weisstein
September 23, 2005

This notebook downloaded from http://mathworld.wolfram.com/notebooks/Statistics/NoncentralF-Distribution.nb.

For more information, see Eric's MathWorld entry http://mathworld.wolfram.com/NoncentralF-Distribution.html.

©2005 Wolfram Research, Inc. except for portions noted otherwise

Usage

?NoncentralFRatioDistribution

Table

v4.2

Stats[NoncentralFRatioDistribution[(Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2]),λ],x]//StatsForm

v5.0

Stats[NoncentralFRatioDistribution[(Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2]),λ],x]//StatsForm//TraditionalForm

v5.2

Stats[NoncentralFRatioDistribution[(Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2]),λ],x]//StatsForm//TraditionalForm

v6

Stats[NoncentralFRatioDistribution[(Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2]),λ],x]//StatsForm//TraditionalForm

PDF

PDF[NoncentralFRatioDistribution[(Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2]),λ],x]//TraditionalForm

TraditionalForm[
P2=((E^(-(λ/2)+((x λ (Subscript[n, 1]))/(2 (x (Subscript[n, 1])+(Subscript[n, 2])))))) (x^((1/2) (-2+(Subscript[n, 1])))) Gamma[((Subscript[n, 1])/2)] Gamma[1+((Subscript[n, 2])/2)] LaguerreL[((Subscript[n, 2])/2),-1+((Subscript[n, 1])/2),-((x λ (Subscript[n, 1]))/(2 (x (Subscript[n, 1])+(Subscript[n, 2]))))] (Subscript[n, 1]^((Subscript[n, 1])/2)) (Subscript[n, 2]^((Subscript[n, 2])/2)) (((x (Subscript[n, 1])+(Subscript[n, 2])))^((1/2) (-(Subscript[n, 1])-(Subscript[n, 2])))))/(Beta[((Subscript[n, 1])/2),((Subscript[n, 2])/2)] Gamma[(1/2) ((Subscript[n, 1])+(Subscript[n, 2]))])]

TraditionalForm[r=FullSimplify[PDF[NoncentralFRatioDistribution[(Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2]),λ],x]/P2]]

Table[r-1/.{x->Random[Real,{0,100}],(Subscript[n, 1])->Random[Integer,{2,100}],(Subscript[n, 2])->Random[Integer,{2,100}],λ->Random[Real,{-100,100}]},{500}]//Chop//Union

(Subscript[n, 2])==(Subscript[n, 1])

PDF[NoncentralFRatioDistribution[(Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 1]),λ],x]//FullSimplify//TraditionalForm

FullSimplify[PDF[NoncentralFRatioDistribution[(Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 1]),λ],x]/.Beta[n_,n_]:>(n-1)!^2/(2n-1)!,(Subscript[n, 1])∈Integers&&(Subscript[n, 1])>0]//TraditionalForm

Normalization

Integrate[PDF[NoncentralFRatioDistribution[(Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 1]),λ],x],{x,0,∞},
Assumptions->(Subscript[n, 1])>2&&n1>2&&((Subscript[n, 1])|(Subscript[n, 2]))∈Integers]

(Subscript[n, 2])=(Subscript[n, 1])

Integrate[FullSimplify[PDF[NoncentralFRatioDistribution[(Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 1]),λ],x]/.Beta[n_,n_]:>(n-1)!^2/(2n-1)!],{x,0,∞},
Assumptions->(Subscript[n, 1])>2&&n1>2&&((Subscript[n, 1])|(Subscript[n, 2]))∈Integers]

Characteristic Function

CharacteristicFunction[NoncentralFRatioDistribution[(Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2]),λ],t]

Moments

muraw[n_]:=(1/(Gamma[(n2/2)]))((E^(-λ1/2)) ((((n2/n1)))^n) Gamma[n+(n1/2)] Gamma[-n+(n2/2)] Hypergeometric1F1Regularized[n+(n1/2),(n1/2),((λ1)/2)])

FullSimplify[muraw[n],(n|n1|n2)∈Integers]

mu[n_]:=Sum[Binomial[n,k](-1)^(n-k)muraw[k]muraw[1]^(n-k),{k,0,n}]

Table[muraw[n],{n,4}]//FullSimplify//ColumnForm//TraditionalForm

MyCollect[x_,y_]:=Module[{c=CoefficientList[x,y]},y^Range[0,Length[c]-1].Factor[c]]

(MyCollect[#,λ]&/@Factor[Numerator[#]]/Factor[Denominator[#]])&/@Together[FunctionExpand[Table[muraw[n],{n,4}]/.{n1->(Subscript[n, 1]),n2->(Subscript[n, 2]),λ1->λ}]]//ColumnForm//TraditionalForm

Product[n+2k,{k,0,n}]//FullSimplify

λ^Range[0,Length[#]-1].#&/@(Factor/@CoefficientList[#/n2^Exponent[#,n2],λ1]&/@Numerator/@FullSimplify[muraw/@Range[4]])/.{n1->(Subscript[n, 1]),n2->(Subscript[n, 2])}//ColumnForm//TraditionalForm

Table[mu[n],{n,3}]//FullSimplify//ColumnForm//TraditionalForm

(MyCollect[#,λ]&/@Factor[Numerator[#]]/Factor[Denominator[#]])&/@Together[FunctionExpand[Table[mu[n],{n,4}]/.{n1->(Subscript[n, 1]),n2->(Subscript[n, 2]),λ1->λ}]]//ColumnForm//TraditionalForm

v4.2

Integrate[x^n PDF[NoncentralFRatioDistribution[(Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2]),λ],x],{x,0,∞}]

Series[PDF[NoncentralFRatioDistribution[(Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2]),λ],x],{x,0,1}]

v5.0

Integrate[x^n PDF[NoncentralFRatioDistribution[(Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2]),λ],x],{x,0,∞}]

Series[PDF[NoncentralFRatioDistribution[(Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2]),λ],x],{x,0,1}]

<<DiscreteMath`RSolve`
SeriesTerm[PDF[NoncentralFRatioDistribution[(Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2]),λ],x],{x,0,n}]

v6

Integrate[x^n PDF[NoncentralFRatioDistribution[(Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2]),λ],x],{x,0,∞}]//Timing

Mean

FullSimplify[muraw[1]]/.{n1->(Subscript[n, 1]),n2->(Subscript[n, 2]),λ1->λ}//TraditionalForm

v4.2

Integrate[x PDF[NoncentralFRatioDistribution[(Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2]),λ],x],{x,0,∞}]

v5.0

Integrate[x PDF[NoncentralFRatioDistribution[(Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2]),λ],x],{x,0,∞}]

v5.2

Integrate[x PDF[NoncentralFRatioDistribution[(Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2]),λ],x],{x,0,∞}]//Timing

v6

Integrate[x PDF[NoncentralFRatioDistribution[(Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2]),λ],x],{x,0,∞}]//Timing

Variance

Collect[#,λ]&/@(Factor[FullSimplify[muraw[2]]]/.{n1->(Subscript[n, 1]),n2->(Subscript[n, 2]),λ1->λ})//TraditionalForm

Skewness

FullSimplify[PowerExpand[FullSimplify[mu[3]]/FullSimplify[mu[2]]^(3/2)]]

Kurtosis

FullSimplify[PowerExpand[FullSimplify[mu[4]]/FullSimplify[mu[2]]^2-3]]