Darling's Products

Author

Eric W. Weisstein
February 17, 2008

This notebook downloaded from http://mathworld.wolfram.com/notebooks/SpecialFunctions/DarlingsProducts.nb.

For more information, see Eric's MathWorld entry http://mathworld.wolfram.com/DarlingsProducts.html.

©2008 Wolfram Research, Inc. except for portions noted otherwise

First Product

(((1-z))^((Subscript[a, 1])+(Subscript[a, 2])+(Subscript[a, 3])-(Subscript[b, 1])-(Subscript[b, 2]))) (Subscript[, 3])(Subscript[F, 2])((Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 2]),(Subscript[a, 3]);(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]);z)==(((Subscript[, 3])(Subscript[F, 2])((Subscript[b, 1])-(Subscript[a, 1]),(Subscript[b, 1])-(Subscript[a, 2]),(Subscript[b, 1])-(Subscript[a, 3]);(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 1])-(Subscript[b, 2])+1;z) ((Subscript[b, 2])-1) (Subscript[, 3])(Subscript[F, 2])((Subscript[b, 2])-(Subscript[a, 1]),(Subscript[b, 2])-(Subscript[a, 2]),(Subscript[b, 2])-(Subscript[a, 3]);(Subscript[b, 2])-1,-(Subscript[b, 1])+(Subscript[b, 2])+1;z))/((Subscript[b, 2])-(Subscript[b, 1])))+(((Subscript[, 3])(Subscript[F, 2])((Subscript[b, 1])-(Subscript[a, 1]),(Subscript[b, 1])-(Subscript[a, 2]),(Subscript[b, 1])-(Subscript[a, 3]);(Subscript[b, 1])-1,(Subscript[b, 1])-(Subscript[b, 2])+1;z) (Subscript[, 3])(Subscript[F, 2])((Subscript[b, 2])-(Subscript[a, 1]),(Subscript[b, 2])-(Subscript[a, 2]),(Subscript[b, 2])-(Subscript[a, 3]);(Subscript[b, 2]),-(Subscript[b, 1])+(Subscript[b, 2])+1;z) ((Subscript[b, 1])-1))/((Subscript[b, 1])-(Subscript[b, 2])))

Simplify[Series[(1-z)^(Subscript[a,1]+Subscript[a,2]+Subscript[a,3]-Subscript[b,1]-Subscript[b,2])*HypergeometricPFQ[{Subscript[a,1],Subscript[a,2],Subscript[a,3]},{Subscript[b,1],Subscript[b,2]},z]-(((Subscript[b,2]-1)/(Subscript[b,2]-Subscript[b,1]))*HypergeometricPFQ[{Subscript[b,1]-Subscript[a,1],Subscript[b,1]-Subscript[a,2],Subscript[b,1]-Subscript[a,3]},{Subscript[b,1],1-Subscript[b,2]+Subscript[b,1]},z]*HypergeometricPFQ[{Subscript[b,2]-Subscript[a,1],Subscript[b,2]-Subscript[a,2],Subscript[b,2]-Subscript[a,3]},{Subscript[b,2]-1,Subscript[b,2]+1-Subscript[b,1]},z]+((Subscript[b,1]-1)/(Subscript[b,1]-Subscript[b,2]))*HypergeometricPFQ[{Subscript[b,2]-Subscript[a,1],Subscript[b,2]-Subscript[a,2],Subscript[b,2]-Subscript[a,3]},{Subscript[b,2],Subscript[b,2]+1-Subscript[b,1]},z]*HypergeometricPFQ[{Subscript[b,1]-Subscript[a,1],Subscript[b,1]-Subscript[a,2],Subscript[b,1]-Subscript[a,3]},{Subscript[b,1]-1,Subscript[b,1]+1-Subscript[b,2]},z]),{z,0,5}]]

Second Product

(Subscript[, 3])(Subscript[F, 2])((Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 2]),(Subscript[a, 3]);(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]);z) (Subscript[, 3])(Subscript[F, 2])(1-(Subscript[a, 1]),1-(Subscript[a, 2]),1-(Subscript[a, 3]);2-(Subscript[b, 1]),2-(Subscript[b, 2]);z)-((((Subscript[, 3])(Subscript[F, 2])((Subscript[b, 1])-(Subscript[a, 1]),(Subscript[b, 1])-(Subscript[a, 2]),(Subscript[b, 1])-(Subscript[a, 3]);(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 1])-(Subscript[b, 2])+1;z) ((Subscript[b, 2])-1) (Subscript[, 3])(Subscript[F, 2])((Subscript[a, 1])-(Subscript[b, 1])+1,(Subscript[a, 2])-(Subscript[b, 1])+1,(Subscript[a, 3])-(Subscript[b, 1])+1;2-(Subscript[b, 1]),-(Subscript[b, 1])+(Subscript[b, 2])+1;z))/((Subscript[b, 2])-(Subscript[b, 1])))+(((Subscript[, 3])(Subscript[F, 2])((Subscript[b, 2])-(Subscript[a, 1]),(Subscript[b, 2])-(Subscript[a, 2]),(Subscript[b, 2])-(Subscript[a, 3]);(Subscript[b, 2]),-(Subscript[b, 1])+(Subscript[b, 2])+1;z) (Subscript[, 3])(Subscript[F, 2])((Subscript[a, 1])-(Subscript[b, 2])+1,(Subscript[a, 2])-(Subscript[b, 2])+1,(Subscript[a, 3])-(Subscript[b, 2])+1;2-(Subscript[b, 2]),(Subscript[b, 1])-(Subscript[b, 2])+1;z) ((Subscript[b, 1])-1))/((Subscript[b, 1])-(Subscript[b, 2]))))

Simplify[Series[HypergeometricPFQ[{Subscript[a,1],Subscript[a,2],Subscript[a,3]},{Subscript[b,1],Subscript[b,2]},z]*HypergeometricPFQ[{1-Subscript[a,1],1-Subscript[a,2],1-Subscript[a,3]},{2-Subscript[b,1],2-Subscript[b,2]},z]-(((Subscript[b,2]-1)/(Subscript[b,2]-Subscript[b,1]))*HypergeometricPFQ[{Subscript[a,1]+1-Subscript[b,1],Subscript[a,2]+1-Subscript[b,1],Subscript[a,3]+1-Subscript[b,1]},{2-Subscript[b,1],1+Subscript[b,2]-Subscript[b,1]},z]*HypergeometricPFQ[{Subscript[b,1]-Subscript[a,1],Subscript[b,1]-Subscript[a,2],Subscript[b,1]-Subscript[a,3]},{Subscript[b,1],Subscript[b,1]+1-Subscript[b,2]},z]+((Subscript[b,1]-1)/(Subscript[b,1]-Subscript[b,2]))*HypergeometricPFQ[{Subscript[a,1]+1-Subscript[b,2],Subscript[a,2]+1-Subscript[b,2],Subscript[a,3]+1-Subscript[b,2]},{2-Subscript[b,2],1+Subscript[b,1]-Subscript[b,2]},z]*HypergeometricPFQ[{Subscript[b,2]-Subscript[a,1],Subscript[b,2]-Subscript[a,2],Subscript[b,2]-Subscript[a,3]},{Subscript[b,2],Subscript[b,2]+1-Subscript[b,1]},z]),{z,0,5}]]