Clebsch- Gordan Coefficient

Author

Eric W. Weisstein
September 22, 2003

This notebook downloaded from http://mathworld.wolfram.com/notebooks/SpecialFunctions/Clebsch-GordanCoefficient.nb.

For more information, see Eric's MathWorld entry http://mathworld.wolfram.com/Clebsch-GordanCoefficient.html.

©2005 Wolfram Research, Inc. except for portions noted otherwise

Usage

?ClebschGordan

Traditional Form

HoldForm[ClebschGordan[{(Subscript[j, 1]), (Subscript[m, 1])}, {(Subscript[j, 2]), (Subscript[m, 2])}, {j, m}]]//TraditionalForm

ClebschGordan[{(Subscript[j, 1]), (Subscript[m, 1])}, {(Subscript[j, 2]), (Subscript[m, 2])}, {j, m}]//TraditionalForm

Physical Conditions

PhysicalQ[{{j1_,m1_},{j2_,m2_},{j_,m_}}]:=Positive/@And@@{j1,j2,j}&&IntegerQ/@And@@({2j1,2j2,2j,j+j1+j2})&&IntegerQ/@And@@(2{m1,m2,m})&&And@@{j1+j2-j≥0,j1-j2+j≥0,-j1+j2+j≥0}&&And@@{Abs[m1]≤j1,Abs[m2]≤j2,Abs[m]≤j}&&Mod[2j1,2]==Mod[2m1,2]&&Mod[2j2,2]==Mod[2m2,2]&&Mod[2j,2]==Mod[2m,2]&&m≥0&&j1≤j2≤j

rawparms=Table[{Random[Integer,{1,10}],Random[Integer,{-10,10}]}/2,{1000},{3}];

parms=Select[rawparms,PhysicalQ]

Mathematica assumes standard form with m ≥ 0  and (Subscript[j, 1])≤(Subscript[j, 2])≤j

Tables

Abramowitz and Stegun (1972, p. 1010).

{ClebschGordan[{1/2,1/2},{1/2,-1/2},{1,0}] ,
ClebschGordan[{1/2,-1/2},{1/2,1/2},{1,0}] ,
ClebschGordan[{1/2,1/2},{1/2,1/2},{1,1}] 
}

(Subscript[J, 2])=1/2

FullSimplify[ClebschGordan[{(Subscript[j, 1]),-(Subscript[j, 1])},{1/2,1/2},{(Subscript[j, 1])+1/2,m}]]

m Identity

Off[General::"stop"]

Apply[ClebschGordan,parms,{1}]

Clebsch-Gordan/Wigner 3j-Symbol Connection

ClebschGordan[{(Subscript[j, 1]),(Subscript[m, 1])},{(Subscript[j, 2]),(Subscript[m, 2])},{j,m}]

Misc Identities

id=ThreeJSymbol[{(Subscript[j, 1]),(Subscript[m, 1])},{(Subscript[j, 2]),(Subscript[m, 2])},{(Subscript[j, 1])+(Subscript[j, 2]),-(Subscript[m, 1])-(Subscript[m, 2])}] -(-1)^((Subscript[j, 1])-(Subscript[j, 2])+(Subscript[m, 1])+(Subscript[m, 2]))Sqrt[(2(Subscript[j, 1]))!(2(Subscript[j, 2]))!/(2(Subscript[j, 1])+2(Subscript[j, 2])+1)!/((Subscript[j, 1])+(Subscript[m, 1]))!((Subscript[j, 1])+(Subscript[j, 2])+(Subscript[m, 1])+(Subscript[m, 2]))!((Subscript[j, 1])+(Subscript[j, 2])-(Subscript[m, 1])-(Subscript[m, 2]))!/((Subscript[j, 1])-(Subscript[m, 1]))!/((Subscript[j, 2])+(Subscript[m, 2]))!/((Subscript[j, 2])-(Subscript[m, 2]))!]

(id /. Thread[{(Subscript[j, 1]),(Subscript[j, 2]),(Subscript[m, 1]),(Subscript[m, 2])}->Take[Flatten[#],4]])&/@parms

Select[%56,ValidQ]

id=ThreeJSymbol[{(Subscript[j, 1]),(Subscript[j, 1])},{(Subscript[j, 2]),-(Subscript[j, 1])},{j,-m}] -(-1)^(-(Subscript[j, 1])+(Subscript[j, 2])+m)Sqrt[(2(Subscript[j, 1]))!(-(Subscript[j, 1])+(Subscript[j, 2])+j)!/((Subscript[j, 1])+(Subscript[j, 2])+j+1)!/((Subscript[j, 1])-(Subscript[j, 2])+j)!((Subscript[j, 1])+(Subscript[j, 2])+m)!(j-m)!/((Subscript[j, 1])+(Subscript[j, 2])-j)!/(-(Subscript[j, 1])+(Subscript[j, 2])-m)!/(j+m)!]

Table[id /. Thread[{j,(Subscript[j, 1]),(Subscript[j, 2]),m}->Table[Random[Integer,{1,10}],{4}]],{20}]