Tetrahedron

Author

Eric W. Weisstein
September 17, 2023

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Definitions

reg=Tetrahedron[{{0,0,0},{d12,0,0},{(d12^2+d13^2-d23^2)/(2 d12),Sqrt[-(d12-d13-d23) (d12+d13-d23) (d12-d13+d23) (d12+d13+d23)]/(2 d12),0},{(d12^2+d14^2-d24^2)/(2 d12),(-d12^4-(d13-d23) (d13+d23) (d14-d24) (d14+d24)+d12^2 (d13^2+d14^2+d23^2+d24^2-2 d34^2))/(2 d12 Sqrt[-(d12-d13-d23) (d12+d13-d23) (d12-d13+d23) (d12+d13+d23)]),(√(d13^4 d24^2+d12^4 d34^2+d12^2 ((d13-d14) (d13+d14) (d23-d24) (d23+d24)-(d13^2+d14^2+d23^2+d24^2) d34^2+d34^4)+d23^2 (d14^4+d24^2 d34^2+d14^2 (d23^2-d24^2-d34^2))-d13^2 (d14^2 (d23^2+d24^2-d34^2)+d24^2 (d23^2-d24^2+d34^2))))/(Sqrt[(d12-d13-d23) (d12+d13-d23) (d12-d13+d23) (d12+d13+d23)])}}];

assum=#>0&/@And@@{d12,d13,d14,d23,d24,d34};

Regular vs general

PolyhedronData[4]

So the regular tetrahedron is the only tetrahedron in PolyhedronData

Select[GraphData["Polyhedral",;;7],GraphData[#,"V"]+4-GraphData[#,"M"]==2&]

Select[GraphData["Polyhedral",;;7],GraphData[#,"FaceCount"]==4&]

So the tetrahedral graph is the only tetrahedron in GraphData

Graphics

Image

Show[SolidData["SolidGeneralTetrahedron","Image"],Method->{"ShrinkWrap"->True},ImageSize->Small]

DiscretizeRegion

rules=Thread[{d12,d13,d14,d23,d24,d34}->{2.7,3,4,4.5,5,5.5}];

Show[DiscretizeRegion[reg/.rules],ImageSize->Small]

Properties

Centroid

Assuming[assum,FullSimplify@RegionCentroid[reg]]

Volume

Assuming[assum,FullSimplify@RegionMeasure[reg]]

Embedding

solns=FullSimplify[Solve[With[{v1={0,0,0},v2={d12,0,0},v3={x3,y3,0},v4={x4,y4,z4}},
{
(v1-v3).(v1-v3)==d13^2,
(v1-v4).(v1-v4)==d14^2,
(v2-v3).(v2-v3)==d23^2,
(v2-v4).(v2-v4)==d24^2,
(v3-v4).(v3-v4)==d34^2
}],{x3,y3,x4,y4,z4}],And@@(#>0&/@{d12,d13,d14,d24,d24,d34})]

solns/.{d12->2.7,d13->3,d14->4,d23->4.5,d24->5,d34->5.5}//Chop

vs={{0,0,0},{d12,0,0},{x3,y3,0},{x4,y4,z4}}/.solns[[-1]]

vs={{0,0,0},{d12,0,0},{(((d12^2)+(d13^2)-(d23^2))/(2 d12)),((Sqrt[-(d12-d13-d23) (d12+d13-d23) (d12-d13+d23) (d12+d13+d23)])/(2 d12)),0},{(((d12^2)+(d14^2)-(d24^2))/(2 d12)),((-(d12^4)-(d13-d23) (d13+d23) (d14-d24) (d14+d24)+(d12^2) ((d13^2)+(d14^2)+(d23^2)+(d24^2)-2 (d34^2)))/(2 d12 (Sqrt[-(d12-d13-d23) (d12+d13-d23) (d12-d13+d23) (d12+d13+d23)]))),(√((d13^4) (d24^2)+(d12^4) (d34^2)+(d12^2) ((d13-d14) (d13+d14) (d23-d24) (d23+d24)-((d13^2)+(d14^2)+(d23^2)+(d24^2)) (d34^2)+(d34^4))+(d23^2) ((d14^4)+(d24^2) (d34^2)+(d14^2) ((d23^2)-(d24^2)-(d34^2)))-(d13^2) ((d14^2) ((d23^2)+(d24^2)-(d34^2))+(d24^2) ((d23^2)-(d24^2)+(d34^2)))))/((Sqrt[(d12-d13-d23) (d12+d13-d23) (d12-d13+d23) (d12+d13+d23)]))}};

faces0=Subsets[Range[4],{3}]

Graphics3D[{FaceForm[Red,Blue],GraphicsComplex[vs,Polygon[faces0]]}/.{d12->2.7,d13->3,d14->4,d23->4.5,d24->5,d34->5.5}]//Chop

Graphics3D[{FaceForm[Blue,Red],tet=GraphicsComplex[vs,Polygon[faces={{3,2,1},{1,2,4},{4,3,1},{2,3,4}}]]}/.{d12->2.7,d13->3,d14->4,d23->4.5,d24->5,d34->5.5}]//Chop

tet=GraphicsComplex[{{0,0,0},{d12,0,0},{(((d12^2)+(d13^2)-(d23^2))/(2 d12)),((Sqrt[-(d12-d13-d23) (d12+d13-d23) (d12-d13+d23) (d12+d13+d23)])/(2 d12)),0},{(((d12^2)+(d14^2)-(d24^2))/(2 d12)),((-(d12^4)-(d13-d23) (d13+d23) (d14-d24) (d14+d24)+(d12^2) ((d13^2)+(d14^2)+(d23^2)+(d24^2)-2 (d34^2)))/(2 d12 (Sqrt[-(d12-d13-d23) (d12+d13-d23) (d12-d13+d23) (d12+d13+d23)]))),(√((d13^4) (d24^2)+(d12^4) (d34^2)+(d12^2) ((d13-d14) (d13+d14) (d23-d24) (d23+d24)-((d13^2)+(d14^2)+(d23^2)+(d24^2)) (d34^2)+(d34^4))+(d23^2) ((d14^4)+(d24^2) (d34^2)+(d14^2) ((d23^2)-(d24^2)-(d34^2)))-(d13^2) ((d14^2) ((d23^2)+(d24^2)-(d34^2))+(d24^2) ((d23^2)-(d24^2)+(d34^2)))))/((Sqrt[(d12-d13-d23) (d12+d13-d23) (d12-d13+d23) (d12+d13+d23)]))}},Polygon[{{3,2,1},{1,2,4},{4,3,1},{2,3,4}}]];

cond=And@@(#>0&/@{d12,d13,d14,d23,d24,d34})&&(#1+#2>#3&@@@Subsets[{d12,d13,d14,d23,d24,d34},{3}])

(ineq=And@@Simplify[PolyhedronInequalities[Flatten[Normal[tet]],{x,y,z}],cond])//Timing

nineq=(Sqrt[-(d12-d13-d23) (d12+d13-d23) (d12-d13+d23) (d12+d13+d23)]) z≥0&&d12 ((√((d13^4) (d24^2)+(d12^4) (d34^2)+(d12^2) ((d13-d14) (d13+d14) (d23-d24) (d23+d24)-((d13^2)+(d14^2)+(d23^2)+(d24^2)) (d34^2)+(d34^4))+(d23^2) ((d14^4)+(d24^2) (d34^2)+(d14^2) ((d23^2)-(d24^2)-(d34^2)))-(d13^2) ((d14^2) ((d23^2)+(d24^2)-(d34^2))+(d24^2) ((d23^2)-(d24^2)+(d34^2)))) y)/((Sqrt[(d12-d13-d23) (d12+d13-d23) (d12-d13+d23) (d12+d13+d23)]))+((((d12^4)+((d13^2)-(d23^2)) ((d14^2)-(d24^2))-(d12^2) ((d13^2)+(d14^2)+(d23^2)+(d24^2)-2 (d34^2))) z)/(2 d12 (Sqrt[-(d12-d13-d23) (d12+d13-d23) (d12-d13+d23) (d12+d13+d23)]))))≥0&&(1/(2 d12))((1/2) (Sqrt[-(d12-d13-d23) (d12+d13-d23) (d12-d13+d23) (d12+d13+d23)]) (-(2 √((d13^4) (d24^2)+(d12^4) (d34^2)+(d12^2) ((d13-d14) (d13+d14) (d23-d24) (d23+d24)-((d13^2)+(d14^2)+(d23^2)+(d24^2)) (d34^2)+(d34^4))+(d23^2) ((d14^4)+(d24^2) (d34^2)+(d14^2) ((d23^2)-(d24^2)-(d34^2)))-(d13^2) ((d14^2) ((d23^2)+(d24^2)-(d34^2))+(d24^2) ((d23^2)-(d24^2)+(d34^2)))) x)/((Sqrt[(d12-d13-d23) (d12+d13-d23) (d12-d13+d23) (d12+d13+d23)]))+d12 z+(((d14^2) z)/d12)-(((d24^2) z)/d12))+((d12^2)+(d13^2)-(d23^2)) ((√((d13^4) (d24^2)+(d12^4) (d34^2)+(d12^2) ((d13-d14) (d13+d14) (d23-d24) (d23+d24)-((d13^2)+(d14^2)+(d23^2)+(d24^2)) (d34^2)+(d34^4))+(d23^2) ((d14^4)+(d24^2) (d34^2)+(d14^2) ((d23^2)-(d24^2)-(d34^2)))-(d13^2) ((d14^2) ((d23^2)+(d24^2)-(d34^2))+(d24^2) ((d23^2)-(d24^2)+(d34^2)))) y)/((Sqrt[(d12-d13-d23) (d12+d13-d23) (d12-d13+d23) (d12+d13+d23)]))+((((d12^4)+((d13^2)-(d23^2)) ((d14^2)-(d24^2))-(d12^2) ((d13^2)+(d14^2)+(d23^2)+(d24^2)-2 (d34^2))) z)/(2 d12 (Sqrt[-(d12-d13-d23) (d12+d13-d23) (d12-d13+d23) (d12+d13+d23)])))))≤0&&(1/2) ((√((d13^4) (d24^2)+(d12^4) (d34^2)+(d12^2) ((d13-d14) (d13+d14) (d23-d24) (d23+d24)-((d13^2)+(d14^2)+(d23^2)+(d24^2)) (d34^2)+(d34^4))+(d23^2) ((d14^4)+(d24^2) (d34^2)+(d14^2) ((d23^2)-(d24^2)-(d34^2)))-(d13^2) ((d14^2) ((d23^2)+(d24^2)-(d34^2))+(d24^2) ((d23^2)-(d24^2)+(d34^2)))) (-d12 (Sqrt[-(d12-d13-d23) (d12+d13-d23) (d12-d13+d23) (d12+d13+d23)])+(Sqrt[-(d12-d13-d23) (d12+d13-d23) (d12-d13+d23) (d12+d13+d23)]) x+(d12^2) y-(d13^2) y+(d23^2) y))/(d12 (Sqrt[(d12-d13-d23) (d12+d13-d23) (d12-d13+d23) (d12+d13+d23)]))+((((d13^2) ((d23^2)+(d24^2)-(d34^2))+(d12^2) ((d23^2)-(d24^2)+(d34^2))+(d23^2) (-2 (d14^2)-(d23^2)+(d24^2)+(d34^2))) z)/(Sqrt[-(d12-d13-d23) (d12+d13-d23) (d12-d13+d23) (d12+d13+d23)])))≤0/.{d12->2.7,d13->3,d14->4,d23->4.5,d24->5,d34->5.5}//Chop;

Coordinates

FullSimplify[Through[{Min,Max}[#]]&/@Transpose[vs],cond]/.Thread[{d12,d13,d14,d23,d24,d34}->{"d12","d13","d14","d23","d24","d34"}]

{{"x",Min[0,(((("d12")^2)+(("d13")^2)-(("d23")^2))/(2 "d12")),(((("d12")^2)+(("d14")^2)-(("d24")^2))/(2 "d12"))],Max["d12",(((("d12")^2)+(("d13")^2)-(("d23")^2))/(2 "d12")),(((("d12")^2)+(("d14")^2)-(("d24")^2))/(2 "d12"))]},{"y",Min[0,((Sqrt[-("d12"-"d13"-"d23") ("d12"+"d13"-"d23") ("d12"-"d13"+"d23") ("d12"+"d13"+"d23")])/(2 "d12")),((-(("d12")^4)-("d13"-"d23") ("d13"+"d23") ("d14"-"d24") ("d14"+"d24")+(("d12")^2) ((("d13")^2)+(("d14")^2)+(("d23")^2)+(("d24")^2)-2 (("d34")^2)))/(2 "d12" (Sqrt[-("d12"-"d13"-"d23") ("d12"+"d13"-"d23") ("d12"-"d13"+"d23") ("d12"+"d13"+"d23")])))],Max[0,((Sqrt[-("d12"-"d13"-"d23") ("d12"+"d13"-"d23") ("d12"-"d13"+"d23") ("d12"+"d13"+"d23")])/(2 "d12")),((-(("d12")^4)-("d13"-"d23") ("d13"+"d23") ("d14"-"d24") ("d14"+"d24")+(("d12")^2) ((("d13")^2)+(("d14")^2)+(("d23")^2)+(("d24")^2)-2 (("d34")^2)))/(2 "d12" (Sqrt[-("d12"-"d13"-"d23") ("d12"+"d13"-"d23") ("d12"-"d13"+"d23") ("d12"+"d13"+"d23")])))]},{"z",Min[0,(√((("d13")^4) (("d24")^2)+(("d12")^4) (("d34")^2)+(("d12")^2) (("d13"-"d14") ("d13"+"d14") ("d23"-"d24") ("d23"+"d24")-((("d13")^2)+(("d14")^2)+(("d23")^2)+(("d24")^2)) (("d34")^2)+(("d34")^4))+(("d23")^2) ((("d14")^4)+(("d24")^2) (("d34")^2)+(("d14")^2) ((("d23")^2)-(("d24")^2)-(("d34")^2)))-(("d13")^2) ((("d14")^2) ((("d23")^2)+(("d24")^2)-(("d34")^2))+(("d24")^2) ((("d23")^2)-(("d24")^2)+(("d34")^2)))))/((Sqrt[("d12"-"d13"-"d23") ("d12"+"d13"-"d23") ("d12"-"d13"+"d23") ("d12"+"d13"+"d23")]))],Max[0,(√((("d13")^4) (("d24")^2)+(("d12")^4) (("d34")^2)+(("d12")^2) (("d13"-"d14") ("d13"+"d14") ("d23"-"d24") ("d23"+"d24")-((("d13")^2)+(("d14")^2)+(("d23")^2)+(("d24")^2)) (("d34")^2)+(("d34")^4))+(("d23")^2) ((("d14")^4)+(("d24")^2) (("d34")^2)+(("d14")^2) ((("d23")^2)-(("d24")^2)-(("d34")^2)))-(("d13")^2) ((("d14")^2) ((("d23")^2)+(("d24")^2)-(("d34")^2))+(("d24")^2) ((("d23")^2)-(("d24")^2)+(("d34")^2)))))/((Sqrt[("d12"-"d13"-"d23") ("d12"+"d13"-"d23") ("d12"-"d13"+"d23") ("d12"+"d13"+"d23")]))]}}

HoldForm@Det[{{a,b},{c,d}}]//TraditionalForm

SurfaceArea

FullSimplify[PolyhedronSurfaceArea[Flatten[Normal[tet]]]]

Volume

(v=Assuming[And@@(#>0&/@{d12,d13,d14,d24,d24,d34}),Simplify[Volume[GraphicsComplex[vs,Polygon[faces]]]]])//Timing

v^2/.{d12->2.7,d13->3,d14->4,d23->4.5,d24->5,d34->5.5}//Chop

NIntegrate[Boole[nineq],{x,-5,5},{y,-5,5},{z,-5,5}]

Factor@FullSimplify[v^2,#>0&/@{d12,d13,d14,d23,d24,d34}]

(det={{0,1,1,1,1},{1,0,(d12^2),(d13^2),(d14^2)},{1,(d12^2),0,(d23^2),(d24^2)},{1,(d13^2),(d23^2),0,(d34^2)},{1,(d14^2),(d24^2),(d34^2),0}})//TraditionalForm

v2=Factor[(1/288)Det[det]]

(Sqrt[v2])/.{d12->2.7,d13->3,d14->4,d23->4.5,d24->5,d34->5.5}//Chop

Simplify[v^2-v2]

TetrahedronVolume[v_]:=Det[Append[#,1]&/@v]/3!

Factor[Expand[TetrahedronVolume[vs]^2,cond]]

Centroid

(1/(Sqrt[v2]))NIntegrate[{x,y,z}Boole[nineq],{x,-5,5},{y,-5,5},{z,-5,5}]/.{d12->2.7,d13->3,d14->4,d23->4.5,d24->5,d34->5.5}//N//Chop

(g=Assuming[cond,Centroid[tet]])//Timing

Large amounts of memory and hangs

(g=Assuming[cond,Centroid[tet,vol,Simplify,Simplify]])//Timing

g/.vol->Sqrt[v2]/.{d12->2.7,d13->3,d14->4,d23->4.5,d24->5,d34->5.5}//N//Chop

g2=Simplify[g/.Abs[x_]:>x,cond]/.Sqrt[x_]:>Sqrt[Factor[x]]

g2/.vol->Sqrt[v2]/.{d12->2.7,d13->3,d14->4,d23->4.5,d24->5,d34->5.5}//N//Chop

v2

Factor[g2/. 144v2->144vol^2/. 12(Sqrt[-v2])->12I vol/. 1/(Sqrt[(d12-d13-d23) (d12+d13-d23) (d12-d13+d23) (d12+d13+d23)])->- I/Δ/. (d12+d13-d23) (d12-d13+d23) (-d12+d13+d23) (d12+d13+d23)->Δ^2/. 1/Sqrt[(Δ^2)]:>1/Δ]

%/.vol->Sqrt[v2]/.Δ->(Sqrt[(d12+d13-d23) (d12-d13+d23) (-d12+d13+d23) (d12+d13+d23)])/.{d12->2.7,d13->3,d14->4,d23->4.5,d24->5,d34->5.5}//N//Chop

{((4 (d12^2)+(d13^2)+(d14^2)-(d23^2)-(d24^2))/(8 d12)),-((2 (d12^4)-3 (d12^2) (d13^2)+(d13^4)-(d12^2) (d14^2)+(d13^2) (d14^2)-3 (d12^2) (d23^2)-2 (d13^2) (d23^2)-(d14^2) (d23^2)+(d23^4)-(d12^2) (d24^2)-(d13^2) (d24^2)+(d23^2) (d24^2)+2 (d12^2) (d34^2))/(8 d12 (Sqrt[(d12+d13-d23) (d12-d13+d23) (-d12+d13+d23) (d12+d13+d23)]))),-1/(2(Sqrt[2])Sqrt[Det[{{0,1,1,1,1},{1,0,(d12^2),(d13^2),(d14^2)},{1,(d12^2),0,(d23^2),(d24^2)},{1,(d13^2),(d23^2),0,(d34^2)},{1,(d14^2),(d24^2),(d34^2),0}}]](Sqrt[(d12+d13-d23) (d12-d13+d23) (-d12+d13+d23) (d12+d13+d23)]))((d12^2) (d13^2) (d23^2)-(d12^2) (d14^2) (d23^2)-(d13^2) (d14^2) (d23^2)+(d14^4) (d23^2)+(d14^2) (d23^4)-(d12^2) (d13^2) (d24^2)+(d13^4) (d24^2)+(d12^2) (d14^2) (d24^2)-(d13^2) (d14^2) (d24^2)-(d13^2) (d23^2) (d24^2)-(d14^2) (d23^2) (d24^2)+(d13^2) (d24^4)+(d12^4) (d34^2)-(d12^2) (d13^2) (d34^2)-(d12^2) (d14^2) (d34^2)+(d13^2) (d14^2) (d34^2)-(d12^2) (d23^2) (d34^2)-(d14^2) (d23^2) (d34^2)-(d12^2) (d24^2) (d34^2)-(d13^2) (d24^2) (d34^2)+(d23^2) (d24^2) (d34^2)+(d12^2) (d34^4))}/.{d12->2.7,d13->3,d14->4,d23->4.5,d24->5,d34->5.5}//N//Chop

Inertia Tensor

(i=Assuming[cond,Simplify[InertiaTensor[tet,vol,Simplify,Simplify]]])//Timing

i/.vol->Sqrt[v2]/.{d12->2.7,d13->3,d14->4,d23->4.5,d24->5,d34->5.5}//N//Chop

(1/vol)NIntegrate[{{y^2+z^2,-x y,-x z},{-x y,z^2+x^2,-y z},{-x z,-y z,x^2+y^2}}Boole[nineq],{x,-5,5},{y,-5,5},{z,-5,5}]/.vol->Sqrt[v2]/.{d12->2.7,d13->3,d14->4,d23->4.5,d24->5,d34->5.5}//N//Chop

Circumsphere

cs=Circumsphere[vs]

FullSimplify[cs,cond]

cs=Sphere[{(d12/2),((d12 (-(d12^2)+(d13^2)+(d23^2)))/(2 (Sqrt[-(d12-d13-d23) (d12+d13-d23) (d12-d13+d23) (d12+d13+d23)]))),((d13-d23) (d13+d23) (-d14 d23+d13 d24) (d14 d23+d13 d24)+(d12^4) (d34^2)+(d12^2) ((d13^2) (2 (d23^2)-(d24^2)-(d34^2))-(d23^2) ((d14^2)+(d34^2))))/(2 (Sqrt[(d12-d13-d23) (d12+d13-d23) (d12-d13+d23) (d12+d13+d23)]) √((d13^4) (d24^2)+(d12^4) (d34^2)+(d12^2) ((d13-d14) (d13+d14) (d23-d24) (d23+d24)-((d13^2)+(d14^2)+(d23^2)+(d24^2)) (d34^2)+(d34^4))+(d23^2) ((d14^4)+(d24^2) (d34^2)+(d14^2) ((d23^2)-(d24^2)-(d34^2)))-(d13^2) ((d14^2) ((d23^2)+(d24^2)-(d34^2))+(d24^2) ((d23^2)-(d24^2)+(d34^2)))))},(1/2) √(((d14 d23-d13 d24-d12 d34) (d14 d23+d13 d24-d12 d34) (d14 d23-d13 d24+d12 d34) (d14 d23+d13 d24+d12 d34))/((d13^4) (d24^2)+(d12^4) (d34^2)+(d12^2) ((d13-d14) (d13+d14) (d23-d24) (d23+d24)-((d13^2)+(d14^2)+(d23^2)+(d24^2)) (d34^2)+(d34^4))+(d23^2) ((d14^4)+(d24^2) (d34^2)+(d14^2) ((d23^2)-(d24^2)-(d34^2)))-(d13^2) ((d14^2) ((d23^2)+(d24^2)-(d34^2))+(d24^2) ((d23^2)-(d24^2)+(d34^2)))))];

Factor[((d13-d23) (d13+d23) (-d14 d23+d13 d24) (d14 d23+d13 d24)+(d12^4) (d34^2)+(d12^2) ((d13^2) (2 (d23^2)-(d24^2)-(d34^2))-(d23^2) ((d14^2)+(d34^2))))/(2 (Sqrt[(d12-d13-d23) (d12+d13-d23) (d12-d13+d23) (d12+d13+d23)]) √((d13^4) (d24^2)+(d12^4) (d34^2)+(d12^2) ((d13-d14) (d13+d14) (d23-d24) (d23+d24)-((d13^2)+(d14^2)+(d23^2)+(d24^2)) (d34^2)+(d34^4))+(d23^2) ((d14^4)+(d24^2) (d34^2)+(d14^2) ((d23^2)-(d24^2)-(d34^2)))-(d13^2) ((d14^2) ((d23^2)+(d24^2)-(d34^2))+(d24^2) ((d23^2)-(d24^2)+(d34^2)))))]

(2 (d12^2) (d13^2) (d23^2)-(d12^2) (d14^2) (d23^2)-(d13^2) (d14^2) (d23^2)+(d14^2) (d23^4)-(d12^2) (d13^2) (d24^2)+(d13^4) (d24^2)-(d13^2) (d23^2) (d24^2)+(d12^4) (d34^2)-(d12^2) (d13^2) (d34^2)-(d12^2) (d23^2) (d34^2))/(2 (Sqrt[(d12-d13-d23) (d12+d13-d23) (d12-d13+d23) (d12+d13+d23)]) √Factor@((d13^4) (d24^2)+(d12^4) (d34^2)+(d12^2) ((d13-d14) (d13+d14) (d23-d24) (d23+d24)-((d13^2)+(d14^2)+(d23^2)+(d24^2)) (d34^2)+(d34^4))+(d23^2) ((d14^4)+(d24^2) (d34^2)+(d14^2) ((d23^2)-(d24^2)-(d34^2)))-(d13^2) ((d14^2) ((d23^2)+(d24^2)-(d34^2))+(d24^2) ((d23^2)-(d24^2)+(d34^2)))))

Det[det]/2//Factor

cs/.{d12->2.7,d13->3,d14->4,d23->4.5,d24->5,d34->5.5}//Chop

Sphere[{(d12/2),((d12 (-(d12^2)+(d13^2)+(d23^2)))/(2 (Sqrt[-(d12-d13-d23) (d12+d13-d23) (d12-d13+d23) (d12+d13+d23)]))),(2 (d12^2) (d13^2) (d23^2)-(d12^2) (d14^2) (d23^2)-(d13^2) (d14^2) (d23^2)+(d14^2) (d23^4)-(d12^2) (d13^2) (d24^2)+(d13^4) (d24^2)-(d13^2) (d23^2) (d24^2)+(d12^4) (d34^2)-(d12^2) (d13^2) (d34^2)-(d12^2) (d23^2) (d34^2))/(2 (Sqrt[(d12-d13-d23) (d12+d13-d23) (d12-d13+d23) (d12+d13+d23)]) (Sqrt[((-Det[det])/2)]))},((2(Sqrt[2])Area[{d23 d14,d13 d24,d12 d34}])/(Sqrt[Det[det]]))]/.{d12->2.7,d13->3,d14->4,d23->4.5,d24->5,d34->5.5}//Chop

Sphere[{(d12/2),((d12 (-(d12^2)+(d13^2)+(d23^2)))/(2 (Sqrt[(-d12+d13+d23) (d12+d13-d23) (d12-d13+d23) (d12+d13+d23)]))),-(2 (d12^2) (d13^2) (d23^2)-(d12^2) (d14^2) (d23^2)-(d13^2) (d14^2) (d23^2)+(d14^2) (d23^4)-(d12^2) (d13^2) (d24^2)+(d13^4) (d24^2)-(d13^2) (d23^2) (d24^2)+(d12^4) (d34^2)-(d12^2) (d13^2) (d34^2)-(d12^2) (d23^2) (d34^2))/((Sqrt[2Det[det](-d12+d13+d23) (d12+d13-d23) (d12-d13+d23) (d12+d13+d23)]) )},((2(Sqrt[2])Area[{d23 d14,d13 d24,d12 d34}])/(Sqrt[Det[det]]))]/.{d12->2.7,d13->3,d14->4,d23->4.5,d24->5,d34->5.5}//Chop

Using formula 6 R V==Δ

((Area[{d23 d14,d13 d24,d12 d34}])/(6(Sqrt[(1/288)Det[det]])))/.{d12->2.7,d13->3,d14->4,d23->4.5,d24->5,d34->5.5}//N//Chop

cs=Circumsphere[vs/.{d12->2.7,d13->3,d14->4,d23->4.5,d24->5,d34->5.5}]

Graphics3D[{Opacity[.5],Sphere[{1.35`,1.88725303075683`,2.6603567732699585`},3.530116451787984`],tet/.{d12->2.7,d13->3,d14->4,d23->4.5,d24->5,d34->5.5}}]

det

FullSimplify[((Area[{d23 d14,d13 d24,d12 d34}])/(Sqrt[2Det[HoldForm[det]]])),cond]

Factor[(-(d13^4) (d24^2)-(d12^4) (d34^2)+(d12^2) ((-(d13^2)+(d14^2)) (d23-d24) (d23+d24)+((d13^2)+(d14^2)+(d23^2)+(d24^2)) (d34^2)-(d34^4))-(d23^2) ((d14^4)+(d24^2) (d34^2)+(d14^2) ((d23^2)-(d24^2)-(d34^2)))+(d13^2) ((d14^2) ((d23^2)+(d24^2)-(d34^2))+(d24^2) ((d23^2)-(d24^2)+(d34^2))))]