Triangle Area

Author

Eric W. Weisstein
July 13, 2006

This notebook downloaded from http://mathworld.wolfram.com/notebooks/PlaneGeometry/TriangleArea.nb.

For more information, see Eric's MathWorld entry http://mathworld.wolfram.com/TriangleArea.html.

©2006 Wolfram Research, Inc. except for portions noted otherwise

Initialization

Cartesian

2D

Area[Triangle[{{(Subscript[x, 1]),(Subscript[y, 1])},{(Subscript[x, 2]),(Subscript[y, 2])},{(Subscript[x, 3]),(Subscript[y, 3])}}]]

3D

TriangleArea3D[{{(Subscript[x, 1]),(Subscript[y, 1]),(Subscript[z, 1])},{(Subscript[x, 2]),(Subscript[y, 2]),(Subscript[z, 2])},{(Subscript[x, 3]),(Subscript[y, 3]),(Subscript[z, 3])}}]

TriangleArea3D[{x0={1,0,1},x1={0,1,1},x2={0,0,1}}]

Subtract@@@Table[({x0,x1,x2}=RandomReal[{-10,10},{3,3}];
{
TriangleArea3D[{x0,x1,x2}],
Norm[Cross[x2-x1,x1-x0]]/2
}),{1000}]//Chop//Union

Subtract@@@Table[({x0,x1,x2}=RandomReal[{-10,10},{3,3}];
{
TriangleArea3D[{x0,x1,x2}],
Norm[Cross[x0-x1,x0-x2]]/2
}),{1000}]//Chop//Union

Angle

2(r^2)Abs[Sin[((Subscript[θ, 1])/2)]Sin[((Subscript[θ, 2])/2)]Sin[(((Subscript[θ, 1])-(Subscript[θ, 2]))/2)]]/.(Subscript[θ, 2])->2(Subscript[θ, 1])/.{(Subscript[θ, 1])->2π/3,r->((Sqrt[3])/3)a}

3Exact Trilinears

ExactTrilinears/@{{(Subscript[α, 1]),(Subscript[β, 1]),(Subscript[γ, 1])},{(Subscript[α, 2]),(Subscript[β, 2]),(Subscript[γ, 2])},{(Subscript[α, 3]),(Subscript[β, 3]),(Subscript[γ, 3])}}Δ/TriangleArea[]

Inexact Trilinears

Simplify[Det[{{((2 Δ (Subscript[α, 1]))/(a (Subscript[α, 1])+b (Subscript[β, 1])+c (Subscript[γ, 1]))),((2 Δ (Subscript[β, 1]))/(a (Subscript[α, 1])+b (Subscript[β, 1])+c (Subscript[γ, 1]))),((2 Δ (Subscript[γ, 1]))/(a (Subscript[α, 1])+b (Subscript[β, 1])+c (Subscript[γ, 1])))},{((2 Δ (Subscript[α, 2]))/(a (Subscript[α, 2])+b (Subscript[β, 2])+c (Subscript[γ, 2]))),((2 Δ (Subscript[β, 2]))/(a (Subscript[α, 2])+b (Subscript[β, 2])+c (Subscript[γ, 2]))),((2 Δ (Subscript[γ, 2]))/(a (Subscript[α, 2])+b (Subscript[β, 2])+c (Subscript[γ, 2])))},{((2 Δ (Subscript[α, 3]))/(a (Subscript[α, 3])+b (Subscript[β, 3])+c (Subscript[γ, 3]))),((2 Δ (Subscript[β, 3]))/(a (Subscript[α, 3])+b (Subscript[β, 3])+c (Subscript[γ, 3]))),((2 Δ (Subscript[γ, 3]))/(a (Subscript[α, 3])+b (Subscript[β, 3])+c (Subscript[γ, 3])))}}]-((8Δ^3  Det[{{(Subscript[α, 1]),(Subscript[β, 1]),(Subscript[γ, 1])},{(Subscript[α, 2]),(Subscript[β, 2]),(Subscript[γ, 2])},{(Subscript[α, 3]),(Subscript[β, 3]),(Subscript[γ, 3])}}])/((a (Subscript[α, 1])+b (Subscript[β, 1])+c (Subscript[γ, 1]))(a (Subscript[α, 2])+b (Subscript[β, 2])+c (Subscript[γ, 2]))(a (Subscript[α, 3])+b (Subscript[β, 3])+c (Subscript[γ, 3]))))]