Chió Pivotal Condensation

Author

Eric W. Weisstein
March 26, 2009

This notebook downloaded from http://mathworld.wolfram.com/notebooks/LinearAlgebra/ChioPivotalCondensation.nb.

For more information, see Eric's MathWorld entry http://mathworld.wolfram.com/ChioPivotalCondensation.html.

©2009 Wolfram Research, Inc. except for portions noted otherwise

Additional Authors

Original notebook by 
Nicholas M. Makin
January 27, 2003

Description

Let A=[(Subscript[a, ij])] be an n× n matrix and suppose that (Subscript[a, 11])≠ 0.  Then form an (n-1)× (n-1) matrix B such that (Subscript[b, ij])=(Subscript[a, 11])(Subscript[a, ij])-(Subscript[a, in])(Subscript[a, nj])so that

|A|=((|B|)/(Subscript[a, 11]^(n-2)))

Eves, H.  Elementry Matrix Theory.  New York: Dover, pp. 129-134, 1980.

Det[A]=(1/((Subscript[a, 11])^(2-n)))Det[(({{Det[(({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 12])}, {(Subscript[a, 21]), (Subscript[a, 22])}}))], Det[(({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 13])}, {(Subscript[a, 21]), (Subscript[a, 23])}}))], ..., Det[(({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 1n])}, {(Subscript[a, 21]), (Subscript[a, 2n])}}))]}, {Det[(({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 12])}, {(Subscript[a, 31]), (Subscript[a, 32])}}))], Det[(({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 13])}, {(Subscript[a, 31]), (Subscript[a, 33])}}))], ..., Det[(({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 1n])}, {(Subscript[a, 31]), (Subscript[a, 3n])}}))]}, {..., ..., ..., ...}, {Det[(({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 12])}, {(Subscript[a, n1]), (Subscript[a, n2])}}))], Det[(({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 13])}, {(Subscript[a, n1]), (Subscript[a, n3])}}))], ..., Det[(({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 1n])}, {(Subscript[a, n1]), (Subscript[a, nn])}}))]}}))]

Implementation

BArray[a_]:=Module[{i,j,n=Length[a]},
Table[a[[1,1]]a[[i+1,j+1]]-a[[1,j+1]]a[[i+1,1]],{i,n-1},{j,n-1}]
]

ChioDet[a_]:=((Det[BArray[a]])/((a[[1,1]])^(Length[a]-2)))

Example

Random Check

Subtract@@@Table[With[{m=RandomComplex[5{-1,1}(I+1),{1,1}RandomInteger[{2,10}],WorkingPrecision->25]},
Through[{Det,ChioDet}[m]]],{100}]//Chop//Union

Example

Det[(({{1, 2, 3, 4}, {8, 7, 6, 5}, {3, 6, 9, 0}, {1, 4, 8, 3}}))]=Det[(({{Det[(({{1, 2}, {8, 7}}))], Det[(({{1, 3}, {8, 6}}))], Det[(({{1, 4}, {8, 5}}))]}, {Det[(({{1, 2}, {3, 6}}))], Det[(({{1, 3}, {3, 9}}))], Det[(({{1, 4}, {3, 0}}))]}, {Det[(({{1, 2}, {1, 4}}))], Det[(({{1, 3}, {1, 8}}))], Det[(({{1, 4}, {1, 3}}))]}}))]

=Det[(({{-9, -18, -27}, {0, 0, -12}, {2, 5, -1}}))]=-9Det[(({{1, 2, 3}, {0, 0, -12}, {2, 5, -1}}))]

=-9Det[(({{Det[(({{1, 2}, {0, 0}}))], Det[(({{1, 3}, {0, -12}}))]}, {Det[(({{1, 2}, {2, 5}}))], Det[(({{1, 3}, {2, -1}}))]}}))]=-9Det[(({{0, -12}, {1, -7}}))]=-9(12)=-108

Det[(({{1, 2, 3, 4}, {8, 7, 6, 5}, {3, 6, 9, 0}, {1, 4, 8, 3}}))]

Through[{Det,ChioDet}[(({{1, 2, 3, 4}, {8, 7, 6, 5}, {3, 6, 9, 0}, {1, 4, 8, 3}}))]]