Graph Automorphism

Author

Eric W. Weisstein
April 18, 2020

This notebook downloaded from http://mathworld.wolfram.com/notebooks/GraphTheory/GraphAutomorphism.nb.

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Parametrized families

GraphDataCountTable["AutomorphismCount"]

Parametrized families

Andrasfai

seq=Table[GraphData[{"Andrasfai",n},"AutomorphismCount"],{n,10}]

FindSequenceFunction[Rest@seq,n-1]//Factor

Antelope n×n

seq=Table[GraphData[{"Antelope",{n,n}},"AutomorphismCount"],{n,10}]

(seq=Table[GroupOrder@GraphAutomorphismGroup[AntelopeGraph[n,n]],{n,30}])//Timing

Antiprism

Entity["Graph",{"Antiprism",n}]["AutomorphismCount"]

seq=Table[GraphData[{"Antiprism",n},"AutomorphismCount"],{n,3,25}]

FindSequenceFunction[Rest@seq,n-3]

Apollonian

seq=Table[GraphData[{"Apollonian",n},"AutomorphismCount"],{n,6}]

FindSequenceFunction[seq,n]

(seq=Table[GroupOrder@GraphAutomorphismGroup[ApollonianGraph[n]],{n,8}])//Timing

Barbell

seq=Table[GraphData[{"Barbell",n},"AutomorphismCount"],{n,3,20}]

FindSequenceFunction[seq,n-2]//FullSimplify

Bishop n×n

seq=Table[GraphData[{"Bishop",{n,n}},"AutomorphismCount"],{n,10}]

FindSequenceFunction[Rest@seq,n-1]//FullSimplify

BlackBishop n×n

seq=Table[GraphData[{"BlackBishop",{n,n}},"AutomorphismCount"],{n,10}]

FindSequenceFunction[Drop[seq,2],n-2]//FullSimplify

Book

seq=Table[GraphData[{"Book",n},"AutomorphismCount"],{n,20}]

FindSequenceFunction[Rest@seq,n-1]//FullSimplify

Bruhat

seq=Table[GraphData[{"Bruhat",n},"AutomorphismCount"],{n,6}]

FindSequenceFunction[seq,n]

FindSequenceFunction[Rest@seq,n]

(seq=Table[GroupOrder@GraphAutomorphismGroup[BruhatGraph[n]],{n,7}])//Timing

FindSequenceFunction[Drop[seq,2],n-2]//FullSimplify

Centipede

seq=Table[GraphData[{"Centipede",n},"AutomorphismCount"],{n,10}]

CocktailParty

seq=Table[GraphData[{"CocktailParty",n},"AutomorphismCount"],{n,20}]

FindSequenceFunction[Drop[seq,2],n-2]//FullSimplify

Complete

Entity["Graph",{"Complete",n}]["AutomorphismCount"]

seq=Table[GraphData[{"Complete",n},"AutomorphismCount"],{n,20}]

FindSequenceFunction[seq,n]

CompleteBipartite m×n

Entity["Graph",{"CompleteBipartite",{m,n}}]["AutomorphismCount"]

DeleteCases[Block[{m,n},Sort[
{{m,n}="CompleteBipartite"/.GraphData[#,"NotationRules"],
Piecewise[{{2*m!*n!, m == n}}, m!*n!],
GraphData[#,"AutomorphismCount"]
}&/@GraphData["CompleteBipartite"]]],{_,x_,x_}]

CompleteBipartite n×n

Entity["Graph",{"CompleteBipartite",{n,n}}]["AutomorphismCount"]

seq=Table[GraphData[{"CompleteBipartite",{n,n}},"AutomorphismCount"],{n,20}]

FindSequenceFunction[seq,n]//FullSimplify

CompleteTripartite k×m×n

Entity["Graph",{"CompleteTripartite",{k,m,n}}]["AutomorphismCount"]

Table[GraphData[{"CompleteTripartite",{k,m,n}},"AutomorphismCount"],{k,5},{m,k,5},{n,m,5}]//Column//TraditionalForm

DeleteCases[Flatten[Table[{
{k,m,n},
GraphData[{"CompleteTripartite",{k,m,n}},"AutomorphismCount"],
k!*m!*n!*Piecewise[{{3, k == m == n}, {2, k == m || m == n || n == k}}, 1]!
},{k,5},{m,k,5},{n,m,5}],2],{_,x_,x_}]

CompleteTripartite n×n×n

Entity["Graph",{"CompleteTripartite",{n,n,n}}]["AutomorphismCount"]

seq=Table[GraphData[{"CompleteTripartite",{n,n,n}},"AutomorphismCount"],{n,10}]

FindSequenceFunction[seq,n]//FullSimplify

CrossedPrism

seq=Table[GraphData[{"CrossedPrism",2n},"AutomorphismCount"],{n,2,10}]

FindSequenceFunction[Rest@seq,n-2]

Crown

seq=Table[GraphData[{"Crown",n},"AutomorphismCount"],{n,3,20}]

FindSequenceFunction[seq,n-2]//FullSimplify

CubeConnectedCycle

Entity["Graph",{"CubeConnectedCycle",n}]["AutomorphismCount"]

seq=Table[GraphData[{"CubeConnectedCycle",n},"AutomorphismCount"],{n,3,8}]

FindSequenceFunction[seq,n-2]//FullSimplify

Cycle

Entity["Graph",{"Cycle",n}]["AutomorphismCount"]

seq=Table[GraphData[{"Cycle",n},"AutomorphismCount"],{n,3,20}]

FindSequenceFunction[seq,n-2]

DiagonalIntersection

seq=Table[GraphData[{"DiagonalIntersection",n},"AutomorphismCount"],{n,3,14}]

Dipyramid

seq=Table[GraphData[{"Dipyramid",n},"AutomorphismCount"],{n,3,14}]

FindSequenceFunction[Drop[seq,2],n-4]

Empty

Entity["Graph",{"Empty",n}]["AutomorphismCount"]

seq=Table[GraphData[{"Empty",n},"AutomorphismCount"],{n,30}]

FindSequenceFunction[seq,n]

FibonacciCube

seq=Table[GraphData[{"FibonacciCube",n},"AutomorphismCount"],{n,15}]

Fiveleaper n×n

seq=Table[GraphData[{"Fiveleaper",{n,n}},"AutomorphismCount"],{n,10}]

(seq=Table[GroupOrder@GraphAutomorphismGroup[FiveleaperGraph[n,n]],{n,20}])//Timing

FoldedCube

seq=Table[GraphData[{"FoldedCube",n},"AutomorphismCount"],{n,2,10}]

FindSequenceFunction[Drop[seq,3],n-5]//FullSimplify

(seq=Table[GroupOrder@GraphAutomorphismGroup[FoldedCubeGraph[n]],{n,2,13}])//Timing

FindSequenceFunction[Drop[seq,3],n-5]//FullSimplify

Gear

seq=Table[GraphData[{"Gear",n},"AutomorphismCount"],{n,3,20}]

FindSequenceFunction[seq,n-2]//Factor

GeneralizedPetersen

DeleteCases[Sort[{"GeneralizedPetersen"/.GraphData[#,"NotationRules"],GraphData[#,"AutomorphismCount"]}&/@GraphData["GeneralizedPetersen"]],{_,0}]

Table[{{n,k},If[k>2&&Mod[n,k]==0,k/(2n),0],AutomorphismCount@PetersenGraph[n,k]},{n,2,10},{k,n/2-1}]

Grid 3×n

Entity["Graph",{"Grid",{3,n}}]["AutomorphismCount"]

seq=Table[GraphData[{"Grid",Sort[{3,n}]},"AutomorphismCount"],{n,10}]

Grid m×n

Entity["Graph",{"Grid",{m,n}}]["AutomorphismCount"]

DeleteCases[Flatten[Table[{
{m,n},
GraphData[{"Grid",{m,n}},"AutomorphismCount"],
Piecewise[{{1,m==n==1},{2,Min[m,n]==1},{8,m==n}},4]
},{m,5},{n,m,5}],1],{_,x_,x_}]

Grid n×n

Entity["Graph",{"Grid",{n,n}}]["AutomorphismCount"]

seq=Table[GraphData[{"Grid",{n,n}},"AutomorphismCount"],{n,10}]

Grid k×m×n

Entity["Graph",{"Grid",{k,m,n}}]["AutomorphismCount"]

DeleteCases[Flatten[Table[{
{k,m,n},
GraphData[{"Grid",{k,m,n}},"AutomorphismCount"],
Piecewise[{
{1,k==m==n==1},
{2,k m n==Max[k,m,n]},
{4,Min[k,m,n]==1&&k m n≠Max[k,m,n]^2},
{48, k == m == n},
 {16,Min[k,m,n]>1&&(k == m || m == n || k == n)}
}, 8]
},{k,5},{m,k,5},{n,m,5}],2],{_,x_,x_}]

Grid n×n×n

Entity["Graph",{"Grid",{n,n,n}}]["AutomorphismCount"]

seq=Table[GraphData[{"Grid",{n,n,n}},"AutomorphismCount"],{n,10}]

Grid

AutomorphismCount[GridGraph[RandomInteger[{1,10},#]]]&/@RandomInteger[{1,4},100]//Union

HalvedCube

seq=Table[GraphData[{"HalvedCube",n},"AutomorphismCount"],{n,10}]

FindSequenceFunction[Drop[seq,4],n-4]//FullSimplify

Hanoi

seq=Table[GraphData[{"Hanoi",n},"AutomorphismCount"],{n,5}]

FindSequenceFunction[seq,n]//FullSimplify

Helm

seq=Table[GraphData[{"Helm",n},"AutomorphismCount"],{n,3,20}]

FindSequenceFunction[seq,n-2]//Factor

Hypercube

Entity["Graph",{"Hypercube",n}]["AutomorphismCount"]

seq=Table[GraphData[{"Hypercube",n},"AutomorphismCount"],{n,0,10}]

FindSequenceFunction[seq,n+1]//FullSimplify

Keller

A051189 (starting with term 3)

Entity["Graph",{"Keller",n}]["AutomorphismCount"]

seq=Table[GraphData[{"Keller",n},"AutomorphismCount"],{n,5}]

(seq=Table[GroupOrder@GraphAutomorphismGroup[KellerGraph[n]],{n,6}])//Timing

seq={24,1920,3072,98304,3932160,188743680};

Do[Print[{k,Head@FindSequenceFunction[Drop[seq,k],n-k]}],{k,0,3}]

{MaxMemoryUsed[keller7=KellerGraph[7]],ByteCount[keller7]}/1.*^9GB//Timing

Through[{Head,VertexCount,EdgeCount}[keller7]]

{MaxMemoryUsed[aut7=GroupOrder@GraphAutomorphismGroup[keller7]],ByteCount[aut7]}//Timing

aut7

seq={24,1920,3072,98304,3932160,188743680,10569646080};

FindSequenceFunction[Drop[seq,2],n-2]//FullSimplify

Table[Piecewise[{{24,n==1},{1920,n==2}},(8^n)n!],{n,7}]

King m×n

Table[GraphData[{"King",{m,n}},"AutomorphismCount"],{n,10},{m,n}]//Column//TraditionalForm

DeleteCases[Flatten[Table[{
{m,n},
Piecewise[{{1,m==n==1},{24,m==n==2},{2,Min[m,n]==1},{8,m==n},{(2^(Max[m,n]+1)),Min[m,n]==2}},4],
GraphData[{"King",{m,n}},"AutomorphismCount"]
},{n,10},{m,n}],1],{_,x_,x_}]

King 2×n

seq=Table[GraphData[{"King",Sort[{2,n}]},"AutomorphismCount"],{n,10}]

FindSequenceFunction[Drop[seq,2],n-2]//Factor

King n×n

seq=Table[GraphData[{"King",{n,n}},"AutomorphismCount"],{n,10}]

Knight m×n

Entity["Graph",{"Knight",{m,n}}]["AutomorphismCount"]

Table[GraphData[{"Knight",{m,n}},"AutomorphismCount"],{n,10},{m,n}]//Column//TraditionalForm

DeleteCases[Flatten[Table[{
{m,n},
Piecewise[{{Max[m, n]!, Min[m, n] == 1}, {24, m == n == 2}, 
   {16, m == n == 3 || (Min[m, n] == 2 && Max[m, n] == 3) || (Min[m, n] == 3 && Max[m, n] == 6)}, 
   {64, m == n == 4 || (Min[m, n] == 2 && Mod[Max[m, n], 2] == 1)}, 
   {8, m == n || (Min[m, n] == 3 && (Max[m, n] == 5 || Max[m, n] == 7))}, 
   {384, Min[m, n] == 2 && Mod[Max[m, n], 2] == 0}}, 4],
GraphData[{"Knight",{m,n}},"AutomorphismCount"]
},{n,10},{m,n}],1],{_,x_,x_}]

Knight n×n

Entity["Graph",{"Knight",{n,n}}]["AutomorphismCount"]

seq=Table[GraphData[{"Knight",{n,n}},"AutomorphismCount"],{n,20}]

Ladder

Entity["Graph",{"Ladder",n}]["AutomorphismCount"]

seq=Table[GraphData[{"Ladder",n},"AutomorphismCount"],{n,20}]

LadderRung

seq=Table[GraphData[{"LadderRung",n},"AutomorphismCount"],{n,20}]

FindSequenceFunction[Drop[seq,3],n-3]

MengerSponge

seq=Table[GraphData[{"MengerSponge",n},"AutomorphismCount"],{n,3}]

MoebiusLadder

Entity["Graph",{"MoebiusLadder",n}]["AutomorphismCount"]

seq=Table[GraphData[{"MoebiusLadder",n},"AutomorphismCount"],{n,3,25}]

Mycielski

Entity["Graph",{"Mycielski",n}]["AutomorphismCount"]

seq=Table[GraphData[{"Mycielski",n},"AutomorphismCount"],{n,11}]

Odd

Entity["Graph",{"Odd",n}]["AutomorphismCount"]

seq=Table[GraphData[{"Odd",n},"AutomorphismCount"],{n,7}]

FindSequenceFunction[seq,n]//FullSimplify

Pan

seq=Table[GraphData[{"Pan",n},"AutomorphismCount"],{n,3,20}]

Path

Entity["Graph",{"Path",n}]["AutomorphismCount"]

seq=Table[GraphData[{"Path",n},"AutomorphismCount"],{n,20}]

PathComplement

seq=Table[GraphData[{"PathComplement",n},"AutomorphismCount"],{n,20}]

Prism

Entity["Graph",{"Prism",n}]["AutomorphismCount"]

seq=Table[GraphData[{"Prism",n},"AutomorphismCount"],{n,3,25}]

Queen m×n

Table[GraphData[{"Queen",{m,n}},"AutomorphismCount"],{n,10},{m,n}]//Column//TraditionalForm

DeleteCases[Flatten[Table[{
{m,n},
Piecewise[{{Max[m, n]!, Min[m, n] == 1},{24, m == n == 2},{16,Max[m,n]==3},{8,m==n||(Min[m,n]==2&&Max[m,n]==4)}}, 4],
GraphData[{"Queen",{m,n}},"AutomorphismCount"]
},{n,10},{m,n}],1],{_,x_,x_}]

Queen n×n

seq=Table[GraphData[{"Queen",{n,n}},"AutomorphismCount"],{n,10}]

Rook m×n

Table[GraphData[{"Rook",{m,n}},"AutomorphismCount"],{n,10},{m,n}]//Column//TraditionalForm

DeleteCases[Flatten[Table[{
{m,n},
Piecewise[{{Max[m, n]!, Min[m, n] == 1}}, XXX],
GraphData[{"Queen",{m,n}},"AutomorphismCount"]
},{n,10},{m,n}],1],{_,x_,x_}]

Rook n×n

seq=Table[GraphData[{"Rook",{n,n}},"AutomorphismCount"],{n,10}]

FindSequenceFunction[Drop[seq,3],n-3]//FullSimplify

RookComplement n×n

seq=Table[GraphData[{"RookComplement",{n,n}},"AutomorphismCount"],{n,10}]

FindSequenceFunction[Drop[seq,1],n-1]//FullSimplify

SierpinskiCarpet

seq=Table[GraphData[{"SierpinskiCarpet",n},"AutomorphismCount"],{n,4}]

SierpinskiSieve

seq=Table[GraphData[{"SierpinskiSieve",n},"AutomorphismCount"],{n,5}]

SierpinskiTetrahedron

seq=Table[GraphData[{"SierpinskiTetrahedron",n},"AutomorphismCount"],{n,6}]

StackedBook m×n

Table[GraphData[{"StackedBook",{m,n}},"AutomorphismCount"],{m,10},{n,10}]//Column//TraditionalForm

FindSequenceFunction[{4,12,48,240,1440},n-1]

DeleteCases[Flatten[Table[{
{m,n},
Piecewise[{{2,m==n==1},{8,(m==1&&n==2)||(m==2&&n==3)},{4,m==1},{m!,n == 1}},2m!],
GraphData[{"StackedBook",{m,n}},"AutomorphismCount"]
},{n,10},{m,10}],1],{_,x_,x_}]

StackedBook n×n

seq=Table[GraphData[{"StackedBook",{n,n}},"AutomorphismCount"],{n,10}]

FindSequenceFunction[Drop[seq,1],n-1]

Star

Entity["Graph",{"Star",n}]["AutomorphismCount"]

seq=Table[GraphData[{"Star",n},"AutomorphismCount"],{n,25}]

FindSequenceFunction[Drop[seq,2],n-2]//FullSimplify

Sun

seq=Table[GraphData[{"Sun",n},"AutomorphismCount"],{n,3,20}]

FindSequenceFunction[seq,n-2]//Factor

Sunlet

seq=Table[GraphData[{"Sunlet",n},"AutomorphismCount"],{n,3,20}]

FindSequenceFunction[seq,n-2]

Tetrahedral

seq=Table[GraphData[{"Tetrahedral",n},"AutomorphismCount"],{n,6,10}]

FindSequenceFunction[seq,n-5]//Factor

(seq=Table[GroupOrder@GraphAutomorphismGroup[TetrahedralGraph[n]],{n,6,12}])//Timing

FindSequenceFunction[Drop[seq,1],n-6]//FullSimplify

Transposition

Entity["Graph",{"Transposition",n}]["AutomorphismCount"]

seq=Table[GraphData[{"Transposition",n},"AutomorphismCount"],{n,6}]

Triangular

seq=Table[GraphData[{"Triangular",n},"AutomorphismCount"],{n,2,20}]

FindSequenceFunction[Drop[seq,3],n-3]

TriangularGrid

seq=Table[GraphData[{"TriangularGrid",n},"AutomorphismCount"],{n,0,10}]

TriangularHoneycombAcuteKnight

seq=Table[GraphData[{"TriangularHoneycombAcuteKnight",n},"AutomorphismCount"],{n,20}]

TriangularHoneycombBishop

seq=Table[GraphData[{"TriangularHoneycombBishop",n},"AutomorphismCount"],{n,9}]

TriangularHoneycombObtuseKnight

seq=Table[GraphData[{"TriangularHoneycombObtuseKnight",n},"AutomorphismCount"],{n,20}]

TriangularHoneycombQueen

seq=Table[GraphData[{"TriangularHoneycombQueen",n},"AutomorphismCount"],{n,10}]

TriangularHoneycombRook

seq=Table[GraphData[{"TriangularHoneycombRook",n},"AutomorphismCount"],{n,10}]

FindSequenceFunction[seq,n]

TriangularSnake

seq=Table[GraphData[{"TriangularSnake",n},"AutomorphismCount"],{n,1,20,2}]

Web

seq=Table[GraphData[{"Web",n},"AutomorphismCount"],{n,3,20}]

FindSequenceFunction[seq,n-2]

Wheel

seq=Table[GraphData[{"Wheel",n},"AutomorphismCount"],{n,4,20}]

FindSequenceFunction[Drop[seq,1],n-4]//Factor

WhiteBishop n×n

seq=Table[GraphData[{"WhiteBishop",{n,n}},"AutomorphismCount"],{n,2,10}]

FindSequenceFunction[Drop[seq,1],n-2]//FullSimplify

Relation between group and permutations

aut=GraphData["C3","AutomorphismGroup"]

GroupOrder[aut]

PermutationList[#,3]&/@GroupElements[aut]

GraphData["C3","AutomorphismCount"]

Examples

Automorphisms[GridGraph[2,3]]

With[{g="C4"},RecognizeGraph[FromUnorderedPairs[Edges[Graph[g]]/.Thread[Range[V[Graph[g]]]->#]]]&/@GraphData[g,"Automorphisms"]
]//Union

With[{g="CubicalGraph"},RecognizeGraph[FromUnorderedPairs[Edges[Graph[g]]/.Thread[Range[V[Graph[g]]]->#]]]&/@GraphData[g,"Automorphisms"]
]//Union

Show[GraphicsArray[Partition[ShowLabeledGraph[#,
DisplayFunction->Identity,
VertexStyle->Disk[.06],VertexColor->Red]&/@
With[{g=GridGraph[2,3]},
ChangeVertices[g,Vertices[g][[#]]]&/@Automorphisms[g]
],4]
]]

Table[Length[Automorphisms[GridGraph[m,n]]],{m,7},{n,7}]//TableForm

Star

Automorphisms[Star[4]]

Show[GraphicsArray[Partition[ShowLabeledGraph[#,
DisplayFunction->Identity,
VertexStyle->Disk[.06],VertexColor->Red]&/@With[{g=Star[4]},
ChangeVertices[g,Vertices[g][[#]]]&/@Automorphisms[g]
],3]
]]

Length/@Table[Automorphisms[Star[n]],{n,2,7}]//Timing

Table[(n-1)!,{n,2,7}]

Wheel

Automorphisms[Wheel[4]]

Show[GraphicsArray[Partition[ShowLabeledGraph[#,
DisplayFunction->Identity,
VertexStyle->Disk[.08],VertexColor->Red]&/@With[{g=Wheel[4]},
ChangeVertices[g,Vertices[g][[#]]]&/@Automorphisms[g]
],6]
]]

Length/@Table[Automorphisms[Wheel[n]],{n,12}]//Timing

Missing

Missing

l=Sort[GraphData[#,{"V","#"}]&/@Monitor[Select[GraphData[All],Head[GraphData[g=#,"AutomorphismCount"]]===Missing&],g]]

l=Sort[GraphData[#,{"V","#"}]&/@GraphData["AutomorphismCount","Missing"]]

Print[{#,FastAutomorphismCount[#]//Timing}]&/@l[[All,2]];

Check

Length[gs=DeleteCases[GraphData[All],{"Kneser",_}]]

l=Monitor[Select[gs,GraphData[g=#,"|Aut|"]=!=GroupOrder[AutomorphismGroup[Graph[#]]]&],g];//Timing

l

s

Fix Approximate

l=Sort[GraphData[#,{"V","#"}]&/@Monitor[Select[GraphData[All],InexactNumberQ[GraphData[g=#,"|Aut|"]]&],g]]

Length[l]

l[[All,2]]

Print[{#,AutomorphismGroupSize[GetGraph[#]]//AbsoluteTiming}]&/@l[[All,2]];

...wrong...

Print[{#,GroupOrder[AutomorphismGroup[Graph[#]]]//Timing}]&/@Delete[l[[All,2]],{2}]

Print[{#,GroupOrder[AutomorphismGroup[Graph[#]]]//Timing}]&/@{{"Kneser",{14,7}}}

FastIsmorphicQ[

Table[GraphData[{"Kneser",{2n,n}},"|Aut|"],{n,5}]

FindSequenceFunction[%]

FactorInteger/@%36//Column

Log[2,aut]//N

Old

Print[{#,FastAutomorphismCount[Graph[#],Method->"GAP"]//AbsoluteTiming}]&/@l

Print[{#,FastAutomorphismCount[GetGraph[#],Method->"GAP"]//AbsoluteTiming}]&/@l[[All,2]];

...ran overnight...

Print[{#,FastAutomorphismCount[GetGraph[#],Method->"GAP","MaxMemory"->4*^9,Debug->True]//AbsoluteTiming}]&/@Take[l[[All,2]],{2}];

Print[{#,FastAutomorphismCount[GetGraph[#]]//AbsoluteTiming}]&/@l[[All,2]];

Enumeration of |Aut(G)|

id=Table[Length/@Automorphisms/@Graphs[n],{n,6}];//Timing

id=Table[Length/@Automorphisms/@Graphs[n],{n,7}];//Timing

Length/@Union/@(id=Table[Length/@Automorphisms/@Graphs[n],{n,9}])//Timing

Union[Flatten[id]]

Function[n,{n,Count[#,n]&/@id}]/@Union[Flatten[id]]//ColumnForm

Totals

SetDirectory["Mathematica/Paclets/GraphData/Graphs/"]

Get["Graphs"<>ToString[#]<>".m"]&/@Range[6]

a=Table[RawGraphData[{n,#},"AutomorphismGroupOrder"]&/@Range[Length[Graphs[n]]],{n,6}];

{Total/@a,Mean/@a}

Triangle of |Aut(G)|

(*Sort/@id*)

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,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,28,28,28,28,28,28,28,28,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,36,40,40,40,40,40,40,40,40,40,40,40,40,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,48,60,60,60,60,60,60,60,60,60,60,60,60,64,64,64,64,64,64,64,64,64,64,64,64,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,72,80,80,80,80,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,96,120,120,120,120,120,120,120,120,120,120,120,120,120,120,120,120,120,120,120,120,120,120,120,120,120,120,128,128,128,128,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,144,192,192,192,192,192,192,192,192,192,192,192,192,192,192,192,192,192,192,192,192,192,192,192,192,216,216,216,216,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,240,288,288,288,288,288,288,288,288,288,288,288,288,288,288,288,288,288,288,288,288,288,288,288,288,288,288,288,288,288,288,288,288,288,288,288,288,288,288,288,288,288,288,288,288,288,288,288,288,288,288,288,288,384,384,384,384,432,432,432,432,432,432,480,480,480,480,480,480,480,480,480,480,480,480,480,480,480,480,480,480,576,576,576,576,576,576,720,720,720,720,720,720,720,720,720,720,720,720,720,720,720,720,720,720,720,720,720,720,960,960,960,960,960,960,960,960,1152,1152,1152,1152,1296,1296,1440,1440,1440,1440,1440,1440,1440,1440,1440,1440,1440,1440,1440,1440,1440,1440,2880,2880,2880,2880,2880,2880,4320,4320,4320,4320,4320,4320,5040,5040,10080,10080,10080,10080,10080,10080,40320,40320,362880,362880}};

Minimal

A[n_]:=AddEdges[EmptyGraph[3n],Sort/@Join@@{
Partition[Range[n],2,1,1],
{0,n}+#&/@Range[n],
{0,2n}+#&/@Range[n],
{n,2n}+#&/@Range[n],
{1+If[#==n,-n,0],2n}+#&/@Range[n]
}
]

Now let m be a divisor of n. Let (A_n)/m the graph obtained from A_n by identifying b_i with every b_j where i is congruent j modulo (n/m) and likewise for the c_i.  Then |(A_n)/m| = n + 2n/m and Aut((A_n)/m) = Z_n if n > 4 and m < n

B[n_]:=AddEdges[EmptyGraph[2n],Sort/@Join@@{
Partition[Range[n],2,1,1],
Transpose[{Range[n],RotateRight[Range[n+1,2n]]}],
{0,n}+#&/@Range[n],
Transpose[{Range[n],RotateLeft[Range[n+1,2n]]}],
Transpose[{Range[n],RotateLeft[Range[n+1,2n],3]}]
}
]

ShowLabeledGraph[A[3]]

ShowLabeledGraph[B[7]]

l={EmptyGraph[0],EmptyGraph[2],A[3],GraphUnion[CompleteGraph[2],EmptyGraph[2]],A[5],Cycle[3],B[7],Cycle[4],A[9,3],Cycle[5],B[11],GraphUnion[Cycle[3],EmptyGraph[2]],B[13],Cycle[7],A[15,5],GraphUnion[Cycle[4],EmptyGraph[2]],B[17],Cycle[9],B[19],GraphUnion[Cycle[5],EmptyGraph[2]],GraphUnion[B[7],A[3]],Cycle[11],B[23],EmptyGraph[4],GraphUnion[A[5],GraphComplement[A[5]]],Cycle[13],GraphUnion[A[9,3],A[3]],GraphUnion[Cycle[7],EmptyGraph[2]],B[29],GraphUnion[A[3],Cycle[5]],B[31]};

V/@l

Do[
Print[Length[Automorphisms[l[[i]]]]//Timing],
{i,Length[l]}
]

Cycles

Length[Automorphisms[Cycle[#]]]&/@Range[2,6]

Automorphisms[Cycle[#]]&/@Range[2,4]

Graphs with Cyclic Automorphism Groups

Show[GraphData["SmallestCyclicGroupGraph"],ImageSize->200]

ShowGraph[SmallestCyclicGroupGraph,ImageSize->200]

V[SmallestCyclicGroupGraph]

Automorphisms[SmallestCyclicGroupGraph]

Permute[{2,3,1,8,9,4,5,6,7},{2,3,1,8,9,4,5,6,7}]

GetGraphData["CubicalGraph",{"|Aut|","V","#"}]

cyc=Sort[GetGraphData[#,{"AutomorphismCount","V","#"}]&/@Monitor[Select[GetGraphData[All],(aut=Rest[GetGraphData[g=#,"Automorphisms"]];
Head[aut]=!=Missing&&
Length[aut]>1&&
Sort[NestList[Permute[aut[[1]],#]&,aut[[1]],Length[aut]-1]]==Sort[aut])&],g]]

cyc=Sort[{{3,9,"SmallestCyclicGroupGraph"},{3,9,{"Configuration",{{9,3},1}}},{3,25,{"Paulus",{25,3}}},{3,25,{"Paulus",{25,9}}},{3,26,{"Paulus",{26,6}}},{3,40,{"Fullerene",{40,12}}},{3,46,"TuttesGraph"},{5,15,"CremonaRichmondConfigurationGraph"},{5,22,{"Quintic",{22,1}}},{5,35,{"JohnsonSkeleton",47}},{5,50,"WatkinsSnark"},{7,42,{"Cubic",{42,2}}},{4,11,{"Sextic",{11,239}}},{3,24,{"Incidence",{{12,3},53}}},{3,29,{"StronglyRegular",{{29,14,6,7},1}}},{3,29,{"StronglyRegular",{{29,14,6,7},5}}},{3,29,{"StronglyRegular",{{29,14,6,7},23}}},{3,29,{"StronglyRegular",{{29,14,6,7},24}}},{3,29,{"StronglyRegular",{{29,14,6,7},26}}},{3,29,{"StronglyRegular",{{29,14,6,7},27}}},{3,29,{"StronglyRegular",{{29,14,6,7},28}}},{3,29,{"StronglyRegular",{{29,14,6,7},29}}},{3,29,{"StronglyRegular",{{29,14,6,7},30}}},{3,29,{"StronglyRegular",{{29,14,6,7},36}}},{3,46,{"Fullerene",{46,63}}},{3,46,{"Fullerene",{46,66}}},{3,50,{"Fullerene",{50,96}}},{3,50,{"Fullerene",{50,166}}}}];

GraphData[#,"Automorphisms"]&/@cyc

Permute[aut=GraphData[#,"Automorphisms"][[2]],aut]&/@cyc

GraphicsGrid[Flatten[Partition[#,4,4,{1,1},{}]&/@Map[Show[If[Head[g=GraphData[Last[#]]]===GraphData,GraphPlot[GetGraph[Last[#]]],g],PlotLabel->TextCell[GetGraphData[Last[#],"Name"]<>"\n(n == "<>ToString@GetGraphData[Last[#],"V"]<>", |Aut| == "<>ToString@GetGraphData[Last[#],"AutomorphismCount"]<>")",PageWidth->120,TextAlignment->Center],BaseStyle->{FontSlant->Italic,FontSize->10}]&,
Split[cyc,First[#1]==First[#2]&],{2}],1],ImageSize->500]//Quiet