Khinchin's Constant

Author

Eric W. Weisstein
November 15, 2017

This notebook downloaded from http://mathworld.wolfram.com/notebooks/Constants/KhinchinsConstant.nb.

For more information, see Eric's MathWorld entry http://mathworld.wolfram.com/KhinchinsConstant.html.

©2017 Wolfram Research, Inc. except for portions noted otherwise

Cached

khinchin=2.6854520010653064453097148354817956938203822939944629530511523455572188595371520028011411749318476979951534659052880900828976777164109630517925334832596683818523154213321194996260393285220448194096180686641664289308477880620360737053501033672633577289049904270702723451702625237023545810686318501032374655803775026442524852869468234189949157306618987207994137235500057935736698933950879021244642075289741459147693018449050601793499385225470404203377985639831015709022233910000220772509651332460444439191691460859682348212832462282927101269069741823484776754573489862542033926623518620867781366509696583146995271837448054012195366666049648269890827548115254721177330319675947383719393578106059230401890711349624673706841221794681074060891827669566711716683740590473936880953450489997047176390451343232377151032196515038246988883248709353994696082647818120566349467125784366645797409778483662049777748682765697087163192938512899314199518611673792654620563505951385713761697126872299805327673278710513763956371902314528900305813691090479967275757138504356505064159082099962340277905383418098512127852945541510192327397271679687515624558687977175871826936595545025130419681865093803130385843529868636351620732769976806658908722444792820086622548991393329706835619341922523310250206417114153350324742991650778466385838791640603164198369958598400654648879226066160872924529250079804696625337298458195563115213343060397150091625768506440630258804842949530825962242823027052340197749636178504306156292304797006343375083844265787081277776505524580457402658483410434369103182457065755096421512282530340570402682407995579118465375693739955870540724550308432906512598676818560285052140417567620148658461850699851359575422265182400756542431084350663930302367579128386452536444226849617345104232228558061581821134333219166366365142691645980650917400224040229064102653065930451409123431690633353903976191386181549858477617723177374518306968979768796136433906474125622923594737195903382311056154363935383074100454253087571993809332018987680324497863157653344307477086515739639877163618918089421587743194451477815239827992453392920810832672417962621038612198902181465498102095605295268587077541471236735634453029509355766847900127267675201736459489020310579292067025885672663631778902079056237090758331049447625400776916912041123287988252655633411657322821123443941087819585284785328009115586988300223942909267163186324298305807418093282773050343793953372331120390211336206390066240283850272515025551856763840231720840880210476318025231588824879084841092579455380900520408282751849314558009392865662965171745788629446335262962865365956976256658593995906590327252522784231898270924375337460653010431613772675195048911714607142918458816901667535041965002744304235342237359345978664311630797406513475768632148803663655316989820569314528686171269029339905145642405911508549268481146749548403636690323039840799841910314901305140169850623954856596637064753500626754083621508638533852094835291879832715210419582268077227767531160982412090401953006927502380826396294144793879893322145474713098294025740881381737738915212585411871645234124373174528095818585806380583338925883902203856714654332505683849845436682684855480616511679814151056504907877398960000400867366852840984125730581950781864990914996463853597679705861260774480257115611611235142210390665091738708550404510245958553039440736745987616746304728940152448551357280980453919123353912131717317221345750715699083014517581348013052860555999381001323894517983176599698618848589395870725784040882862612781627504410425747837359255801237065414737881886038619092365762010999052301434911316850422701157489417954669316622262675235190944947190872646754090270840185469742446534689425863598178161210661774670535152189068951925121367941031059253540201224310494008307744145672339904511422578485491205572007460095595556448511232757551427308365819317317994577730607945635574311259943046649940999703887138829492971138048134667976669297481485041040269249580496486159999502027792505945480997017656638995514159233828575444808895460915603433814604553411970584117031297442606607475766028392398820236252202632561397391284308089028201947393140488532520029459998596238586921195645295503020744151246145770091499185392572046408100144914573531918317291755112479875723459847058561570408539324569742763840911014761305002603462852597807654743333981895661751244988617385282236055789661703911717882166503969919894051067366101316916978148047333560448323398456182475892603803075456730335137321230342155296588936612304366665932276217365878478046463940370958370765613943575233268088215193745621758986441565236474329488069863118306060900806342714142562016247024942815655632827696809279200527778528072189785957263268999927813994620334643378408131168764912514894311254703485893871048497737173004165540431091722357354063680253213907033701329132709256686212651975968117374010515307835795681218025530871814234227759372974477871976115231966895076796788767376728795363279383305767219833125690997886210400810987023271434314619955336145184406574635360053450732987031042258692860586713438760243934416362536017896948132369588623736190577356217478608267400866950806530650903310062521257092476446135349703296917039980201626404691867336461747203805410571035704200176618745204151004530142591126453107163103817637715594454658368121144668656440128397285878098402867597865664994841463741097966655552189530793591857833072842556855899905748763662417496419555415063333956241332423817159663057067778336063952039856546980566412452012464629579624081151575270680514021949404406837086484215443868371012724322074675119643024340971843559425877971496759446899972437713985531032916438270852266214565157805142927466781841210068981737153479865042127196030146952532348410675896166219710850668839255555725491255912954965476642212995533464001664636252535107442142011027442376584148927520740391337583854359572757355042449578499563028346157434389532711827223816400516731565240547411031650699593376688996608101810615958172707176127359406875047023851327552426955384520843131235351876541481809187354594706077307558690262975010034652072971514879334977203887408129637129225098186281752477064362562315342099938043090428034622203883572338132124400558342687567691700804594852644807713406453714429042755161195081934977332729668294050153701122925097606553835475844991124105624898825218932668292562006183339477145739287294726630752699544647884461767146698591724291198801691038304157299360734582595686341965422591049830619862426321462813613486600176891331889035891228936653437668146974638735979467646769156149163342592211390585128688858756738525593691915995729099589805210478068543366615822360666997030234679083453605642914881964517536078140121004365141295908034474820338883417257341436304781951735263157178783573792847119201318656442584800279231409566377339688952957947617242665565311208575768949155946543528338826025627660282329561476355581233553318568310335796927613110813600787809393322584284830044398181553226111439920828744466018263933004074104589626478939238027089071968700642367537401346899185859037284426456333451251411554671159076137539997114236467514576102718567623468924001955889838835153208689454429503979282777798772141108605742281495703496862764203471920206183700991353658588333872530218798679958699959507500068472905278194029563580381970369098744065734351255943961039805839837556645596018968761268000590019267886683386189928323154574511865691919649118152879289155674739712090711062797841305751927684313499203612163033325283096280596662598126903022037136097203644213052484575643631108659168809621825309514704096727015587801363649211469181098184402496093598710690817995342060812490797305240465522324811013721414801924158550776411691391920243695077435225587263722144785835529564380585784441321337322103850640097358307877658955881626421950973869058822106694715206840447786950367639318569139255896769370946666623495910965817901615529103208173564177368985994885985099311584887981507609383031771857361660010857800449094215991731424455264607079879740355891959699307673481429354859883810219051775797879013940213532294223281555489599502644834889889315221255093537742040314961713821763231523298702801194181257630822384190822487008044156452484651043367799931825680157747469923429966180140941267278117829196279729709843204711222412010106283675341823423507725777692112040772529726020921700529073968090887296747364658082087822018900856056394997797993602732916488499142828534951757566028551402095081863458126556353974884356639760467175292723850805841174428685423019050680944053195166038920072073150922392898023116323975499215160049998981407726673583981206180482473838107272470048175107574455905318993198107386913870911989504497376874471963152630137675155869979383181226220264177094803732038523862592494199709633432831026917702782492191330960584903969922326267479115006504458178288611066191314871406304461857623411660853960513572903007720081297453417211153437032000233468239490267615950623894838572931336882350596703176833380934008485979358428876422874911165009349533818572350033462997339144214914065714366243299282252236026447670026339108961575002123590920191333741636813874941103036236083022906282093869952496535745475875165999351020733861046375023367460742100189076011344235110547931007064963362848577472959981613491793187396638443088914915807929613704048152338055665399821426709124274018315832681934880817904490320670073841578047703728849647035363313794992736237133114551413230371489224652325536261256505612782597087667440789921414507339878303322406896914830457003107071632571706837317020745551959293756094519713266941914440477667809997770774554556672514257860197958353329325926677050518308179038837350050623415947329016839819122634692662383933630009381307302827031550477272462783144753460947240579068867383643790081465742332860847574782462146625594149438264038185211598821630370365683673969936446861202690715464492168141200233184490126993882750686494979570159819050193515145824080580648040278157075609399957347447369096801014792622410416695086066887558074746614816855570975098599899920988317999742344253885696234328948501211620322116313908540859347748337051157219261954985464466344344680669846358639771423761868941528671417001862456223472880886706114212885709771985015432056547427334126046501541643790065629561457458981292062008982981398143677253509190913845093847822966934948070882295781352171470816019881747682284408152297647232252741193165772792572016596129123738911944474175800136043888689759700572054503391431984491720248040368836186205025110073382248181496966735843450703834674427189403466425611669044960674831140691285445406968613956740201301816087158958348837928007476474297352727929656703902164246645006456887335126676399541018973494326985130705832198850152592318189459573755917527772660384632366624496335552814758707566144226846611187305982610961646435916525674588707091265967389600356622978771760857100442470349734828568543661277779647572065049856051500912994541506065566848958146086535800403170688636780692291325501888650592445931470071909892926481513965075261569096751975941814082001745777488669783714410521481928315397057265374260684598692988901827778435935781550928782858683184543288993793521901406824928899632298813405358723213123524765784283861797667591544228173562968226775161258531508656824489184633680692677618199202187630856372166154602275082300859517209744470063023279209274856431070587737308491858151651197880048577799267769835077058904788779572667997435346136839888528787296740740298032021359522439523626510829825322178228732675159564772101598118714546477606657764914507095217781369049897097248084082584198080605661233778645779214185685700606949552086792852559693790298164953023327852786001414897635818134211470446625410902988066551478870540341454505586278045202413987207834256880748724847324550421380836763885397278785510555918801680083205449617748066131658112192388257105455882913931299642157345203116111523419292031904323277513200266933034228519281896511084764091815254826261087497322813297979829236104564324333598306311275370823213254290617977409547255340342207241802610916275544972618104119404911627005078239999073727817433260082654824105321871966092542009316519388759856418060323080580780949907750867457026819838185208046632351274034574969811892686199543351414203815975358025223398700913490491253427599629941373162485338785108656996111326522856153921791621873859068253748173096208523658075214023309300977665229442416158959332042151460442107635168597377801841177376111227130883841456356658497133948796206857589303549418397508991943306432519094655627780518623150632523098111194118005708214984438990643144134060306571528669617356975975649152182478515480417263871639202864374994513920740005515480292044981694603900778177223651569610047966326497023957001223168842415899233179982243319034813691013852256944160478298182608355753655756465826431830718659581860784215334652615413387556792452393362542576327539221940579285452966508811561312583379408663666927329904059929576617565870120439244183044023127042833356482583597282332371903513440764354174944888618154969102623185928245763737236209452807889367133660497820473246530024458674005036500486578897312847635116177015945608822422647090678559896170486871762883181558254115649998449400793636734429586457586915888760446632553088460146609989888643783679040220987366919133211765226389340007317882661405724763445572242150845901342723548526722950881987654563537478455865726199626489568108651806930000618030335380339559330208849861575417220502480318474743537814440020321839608189470006221336646778620038261277280653376666876254235273557085881645452741372972790256533114101568039547687887789121019837890069659430352280944193222413324161465814551566696671129439672173856365783267331598772064641712867826626878563553427590354488474729394157665143692052144174774598310381377930083210140032450173510180804795921379296717109536831384030744416084043894371214595718558607558898930905234107810950100221312713398616715442871557528487187524895367491807166440359401475454740495877860877706922359884477337965779361142798614703956357647941191055638965209128716242277848512919267096252877370962293692533992617904483436329369044802378060186188176443040554239452889325146380890781659913204641246191008845943766061385338896855307920784389284181670392193702774321825873830978165312438137785679953026766596432424107159845654059012322101448611451261659571928228344693859417075764281145217052619194172013880786680603707282145212052718863234242033918251498761851681625229755885630882956298884085841001024043869819073443197092228767356829305402170982722734219773716592609313133534420351686076707875541031145312613777817290025838940668597255027837888025618192486270701482133514314490744443743530022890538965039493277717245993889429396948002967271274103390251238076450130061010679339150433488710045369942665267181541034683562139240272094390688421402319239235898367351399071958069808706564068067579199506028794737208780805769176060367984509656478672452329065810045627851209943854571995962732783353371372603071747831710804186470402338541754898615401866855242631970136395517154153982237166088569588241746751711864362692843706351220529592778495455550801826694136315530508055912997562558884306849426157120287126085631597742770291120946212527567489844845372339589834903938677652135386322370783953021702535113226847277027066187668792061417537521550599552716046550041089813641849691100412906455499409320092436035426018489680395554680898490439984510986552483546863074420645360543419049604972051608516354019417785372514135504264836471869130039781142275777171286565860740198905909350070122840553806659295898187692252775195913788813425952977301492251908541228525285388317146867563545631309202776446579201847764213627564368810202731956371987217921507080295175537877001183109521314768555644267751101028764146963620706382442776222850028221919938159379015559986946153857911516149407177875337911020955186778882904322602043947531759594125353180161614211474567006660922786884276241648573759078129447658105981076040509891296653034763936415162179825521272253278863498392071929799388253226059072375322576532345548884162102889521565916467458596725469684475268182163693016720906800742244672688061648163791822545369217919585497600674379508226120712250430178591433404987165940089521502912447585747414190672255782075543771837749553969678500413114670998699102452432824903734576855721799006163470571660582503615144417231197004102598912831009649793857638734412677954285727376681936972183646391382715515177581083712475897591564997555792222520043921318858769922119825918446895187308665243607608979362108309189944171335510996971066328534416091389866989412149486427609055149490053011523492977820925151948779981844931584309422578766233400443020414899141904271802808519807697606974676536427549068558504106355918291758945183072718921897220974552590804484480925004029603236244384423704105729344011306230980941291796942538563182746019981318162835891425309375875732551714673489536771444073402052105062862222566290366440276259213652998947971955469675083510903592037874704151360197668500343735301042944363905161584336014917060085508803712581783779944859944104665051530513335006886251675393823566674914780826349551470724799712775727973731626692718503259374199552696097670951464857021206324735953235874701491993161007783246658251492350339942617267958878153664871879642124576467819745520768379244974757664442970185098739125308280215086052056417599446585936279867980668111922126332948618187121029157230200347088847172709593465379122631543357984191936014317377788391508105081480191729200601598641541121276438700947876262261629240740949074666745257695810108480648604451751065300751320303643407722450374454613559694360301556901283004851710991589576004061645834458991765254292500323503040349845288509823814085286580087456907577008285690346919809533318404763046934570467489227726893420590647927446862200536399625339013196997723200172053326718140336944649423000720678331572541627551254580858783159175714058569477689178677294303576744561064646994402910535423601972358260721168423223881278582474940152424339459660496333923356216511427483256940673805631850604182392475247638577035006965644521832979790229292127850259187782625252180115014554045675881440228333035915426430867655911125842124464270808932754601316789341364954674578424605205547085576241806291579521255813179488109956921645888811176467881650978700935702459468855122839030533578548052404685777095386972730429616299250450683562658322910769841951934334001601824601930486469596147793510843551802346996926157622998460107559152810985542833379729507138268731782871153278525058341958789792754180448725068865675126979592418717668305037443563800301654449813073843265643476796564441773351154122760433536943463543843087467469808596470569119192020629175488110353208574926223147513242566770467807000661365043274666934907125586994017280416596046845974193074735312244486601246928873051368969529183051837119260001189557821700632971787743315721207779359192943858377613255057460120196151676304747540656666984578648810246473139929932878518710249042761215492450177286612864458299921290172100220541079450812487014471250857847538015022884966443511598005911445940220851442263278734348539186349430191032221548121133500373533608131151671472743094023031006980927421771190774497896366813337266858804918706551650621163227751568791027560400935270404214222808578696229105825014721626041040694909789132183988761047565413173237474926953580242064998777967126957205813577562865068261567409914436387410348532589078499302547143836133735704552723064696796075743686433737342244061116435466484365806207437425434175764799216960726966224450798403440817652231472536095695566561451831753806503516642061157679253734728290802747322621452735744814312797014942229124406983502648677133281339973059306778021303059081325051174385506741662600865687657979490118091985958526401464888760468649371633304720952554016149771895049289835366011843039784345842396115338895581025471319074982521300079677032877223190427494924918104208308067867866126683577808187316028359218586646717288205146572588567764662122364306493147847748214652971344367961412627403096497281578318794502576261549918306575286890577465478230761452825729392109044405227079512437710135467342827623866175993914435567208277437896183727081706095461564954682691739464448015436656163853500428175113129516274539867051358821748263764014502866394200730117885489763546086255797702020526916934998771192648123455140414861333397699744298089358239184937342258274419516356230330269090221505204312273090046731676728464317672475224694112510779886125206029413810976053831376461118232136810316470842351569560739734852182050283077887814480100918488766672096427805912813191772897039912133764696831649900191067122547736380942261552498433948096389465124604047849652554602288369679491529230883539312640007685131918957329197286292494965778389821063115889521650570728443607529094448610108472773278422729902724977476921919382602080622144325418687247768736416603193639032617899750540848801034798976567192958319054768694022886319149351788926729174322353114559539392835059595182513624629995555202079785198348539456327738742756479982981997807568012911484058027798409551686623482976285457009104822737183572200988577504923752005763820687742007255754529269477183712710632550187286363783441875683580169361974524280693673140899483632288397398663581409830363032928447367354327266128515663868535505560668780175040400281213570479096624763532808908899312904254487901566208506516028413934812666266291842004064156570987619181240869380521014295909155566993499490296593550609311642839763336510360437835344876140253174961880850147970809710187540975544939335342409554063816492454876281377558895447966797991352483605636019868294772075864772890736351479033074989363624760649345737609067629568752016064532011701634156998830233563413501469086733326449587751444652595696287546259402467327305991512037259603398833465899650929399178460282151514528178199530365913957313021884957597990084310506908727310217516361604202905152641032813443818811183712914035253052491379230039153112106532160859657582691947426200106731285587103149263958563420612968705136094093915670019111825121677296538848615301358152565624634751750637109935485029465533123464283508279979970997794387479903296995427150086295065263180269251830395535172175318111361073784301478346022131398008305794324697699066103552181431324422407389220210136067880205379058391445344604595220891572924521330804085634374650351174471152777325807865656919382116214668332224640221295529701244773794947693106350187396016334757951404637159566246763305033199052109546064577741637329782170699425140015074455328959461688318614521409252562613572377280827010355248764232763841530597937277847682495633729377863781011935755712061323381498376007874877548794029789887014838497146516579738087516461684068674110529082207652700970361780353618229889736262595573230796912462718546011649024389361488845231409287367987430135230957921718265241808619490982726085869051667428624575478685085581721667043790260064550038907335411045286839373710008324072480353017578948234860698678977404853907312743741217197682836470208045622387327152212701978101391013044833423113600732512815863227911258295666307820762259275758538330494863563632727807482678179195257435777383729594584135084265457287611722042779939002124711716947207099284845737541726792578041457863180525235145032008311815262462662048362175251834523770642200490539287549484083282704758784789926802730255629193689408304874793574914100202123317843663188960227366997160351838278310695193733389444876895865390718706605937749927406116848651497361251603506810193424892816602216878907271627501125370581903883317422105162979152577607727068669054319398868963276533783510227132604393250274410433164399569646971685011086062835131438759364017117230316423589529795300122155124102255530700985279257457311140752959499351108803423086321491715428651188939520493340912126436236156192807028185754741156169367781177581326612694490393865239514694243261834956702856349530702291258546227897654167798472912302926804601129614697103261871312962117183608336033928583338765821950642382925595649940204711109316285747114230068103604323783041506052673849846801255330775793952731577247087580288790843704277489420054253085778600710107183419513280860699297909191329553287092920256332104417543629035517182537173723250394201886281027994188207806303237383318490210232173253478774293111609371623609718466845743402505464853860125004074835483122829753219241754764221065797875279844802269506954110811207650214926449912425332515245858882627109958862467161429286646496807156990722617863452743249231464465269661894715686710634632973990402298718822741079148640092673171763411475411658426419169103679761984665345433353988778661493597014502433076197706859730819498369492872369687280259153884099286774483064511010392308055748182893195984052236362267457479401935535293527442292530879656150364033532180940629336283613103348262600519159221389198015192399729986451299479849553376925507401345997352798762662767942861797176091734674851503681516162777197746677697895027563590870419518997947321371629803228609258850509791517928710134949461479746835409640505200565926857216565534098040418702625929819877240138350143490969081937518583751291601567161227258811936676659012652787108954246001375821209461716892122291816009980242645273025868872949557393794859067253713845963066246404174305310349358056445760360469259497985550352073217691764623475741346674004163040784730733113380696118898556404712883599629233264288913277741927434184740738591874647605784863153690657543922890194415796639534563758921316761054217982657302529229624275157196550284862419541109832796866141488424938312856128577287085063648930873539760590786507956285191804154185906577601259261263774705839984251745000562207818531545655850036345483152320962865490447210417809801368349585842403425258136991840159500955295253342219475307463981436087170321134587441862880952606972731932119830871351069605903416096943916554866478980783455056104375711344629022822433391429983300400387856818212797422101773726707676118005380901035116731695445825428709514197375035737058640943955288769951730543062767956432255767146887127265847292133939498074682624510785917300491772834341327411499209033130939508966559026089102436583840234866730651396520549762095835043051861616084543540152814635241591912515593877612691065347780441777156038973289065006722815128615057739929934708688559715511976798496438587688448007896234331674349676439320803807409915621688859321355755307644692981572924047787133662629127483845407954180039772124681917879872051529718391723249260841478740125318903535004014295389570585653861612882488700422912284197938182246812135629125868742976562373189363893749277930278301364136369474361839307470946636447192041556846611416917339413739399733487523982102450873746691772688224098429217619729697888926772207466622486728915197184522581768289300365616596396296415114829621503985429368897182336569570887321852101361561954685357008101706401975643526385377646102449741530026057053042785829078033643902248618405991350867261299355630069897095551412071654969532430177659492595513394217765469621509869803783445517234340895285252285557942221821071500446587675376430755345506585118376999275141429208044598580877656598528405319550801524368557134546217124170724673083869322231242330702055642399365616596962860239972305915588358751217761403649385634255471103298005608761955501517512367177130770923387667552869177381108808680147919628931356346237403513341258926969912943344438048455351484546923643754092418697803595954095672574764745032346520257245555497006387420018375438321123847594635585245819490823561104860663801464361337516842559650972129936041798369235530644743948167278105434394823720676709296276500409472079373203193382918581989176241074818403639049809119330707376501127593453680941685896810200581155283867089898997967862584404070621922969476354432461114778235393168706717815941129817834126236425894063269434007727438580360506247621061867561919608002835923149263188067407631638101479255348577394377139262783165465843751609992816344810716907935264979545971757869005641091902719365907848803785173445564672732791236228044774169830231720723717180081939817567962399640439290556364830392823220473701268442924686468166870901460510882173886566836928398478326762584802172856117253007651579397438181646203995941539353490973202322389107795459539297897820032171776097511466609874862398764229110040211458667034147460022249649365177956549254030613275432534404721644766787228720315950596519701083769789977811970459258313624146377920433068478771175309543795324638328454775589333171059507653075370515776199773395017055347779263202319116864640209996231653986066134112239755810033699873498846797950777546710301056321678728414809202580441179376765051968683051396897698847530701245722582517392012299278917575350674945943821705005562630841316829585860432323226671123316587117726188959797756864116563974878610632746125301439744704261351037905046817639997237411880040595468426240296124722880211851241580708549919198335922182915086624567886350279364448585981937456292777670711101629403827305340579121386086805285146854963972381805015980160172668167746368688605770140001504187975659172714539035370602586154177026893646881055530745801063612113779669698414825975843836196921855777107723605294251395153686293377140775441037685880000614926473026642036501177982442041801837746259944079799837837181952916270767796884494544268119568579970184368920816546375799968174744993473621856364785961782034649866844816380896917331021135522442494128962774752822920649255142486068688170050506752727628169979193643245461497172008993313999867187768922046097688790766952842173556354136545745708808250480916939731537683401866631841709862522153823316343121837567084150158263657474698272031219770637386191833033440416111662150247348547846040694402218312784753477561557269318294506876601651245972320317013316003494845486174992201593835054982485916440726042978712254539874026032517115564623523246442767177359215105079124510555688990082509094946159791455631394387769247742429480603954487674066194698846373386449580892677757065682960607586454952986837077793105281484520272753530492148252368554531150687617629721748859973408158960999015262642034523038433299078010400401798464371106957991899879338575271516751281376231357064063106327734185279459751520921986788687405663449962115988824136932163591465615168475768222040758734764909872555496005794211416664487144435899564206687209937012605401570711632649172879494771473941569656859240782789783156403229677552485563432139842659189066220793795892428837992522812092944779646385641417405556719880872372207364146314505822123204567016648269559946314672791834615570295263502705522510118181387917633566309714029056929299462749950660536096435813916312128751111846617024617536715066502315289912270644057066242651343711963076402943498119862320945437242047194952920735284064213084993079346764729994527376753442674321034336038788061130254777632166996095466653070886701182554281452168193959402727376954701421599615157998402702824032695415637446787396341306160628450881026027711803767918408913796900019600203371071890719261096391877988201199004627410592288441010373561439229205241801710490861981821696816363720992697034492986424760899310427633967834446492440547578442788961878473639978104952186039976214758680401448313241576592899291196069270515000378020387475210294901309955972517610098899739534838867252913066876884863589260238893181907872569591642358317290456963266329103178534780047989375601285803197270935575684772817272244721196705118585337088434466535647975841657828945476380926638817137490521646764400987897355014686034925221859241370292782157011443001059717217090968549616860090497488328275997397366895266532016397333265432014279279401131661701670366231835195307932030618362792642387772821805748495165281416998699427962964969912115305091413558335448814522892964862781125837686092215884027514465376732905343527082592891634196500612448896331008954511159814959805517479096736269958426109159275776633093879876349030717009780017828686037262746314399616423759849086566348363557398492726910774053283899890262260559795256958786133575108940202959248015861649620526770433812169954625418034364386059908214459309998897453148419921229536524755371467266497162217477900828011766917383498080197965550641581731674078590975256050250607783934365569124775649878503929900113523108624603025143392253770568913365526892141822268843505392873668934868593065629874625884357179240261396386463640326374597758339609479872955196950678590531770768349438991001671197579880070712726977045669932725813279434556895203449896948667942732362591156429753199505489232319416191433764755754892384039985975812140388909705094427264276930239632702521644860294386399157354712869458906018906658102571417314447272818160600787698407304338098709176553352322834403789146630906009835131867755188628529705087966113958330675391913989968335108710200450544489842399930994997989345800753755252586459773822352357136640987068106550124440214666480385046168043314827996098299241481247969155486340235418946922650978609535325329589860249800277216567386283259480857583574265122318168047236117457690876391246439410720427464424617429482508783613214491152520560229784934225109708495398065487831093469047305899406962752444861376561038145144980118533104139499662991003734894243519513861959746473885188893330766083457859228936609980908013369694382322533769531914637423107516938739739643467157495483200024309487698923828520956712495882624643729406545314608694139423157355039318937241986067496519470032435815992934102805112225646117903862851350082244606852312061085095970084869389898046354894127002767955325783642787299395385363640918426972238902012664355520858151765194263440297875713325354955678433705184365807749176513946615104405390429041623569261429263496021696331655793751408215259955250089005117470229816254883154315744374503731795837523585143460825044996385554207975154231403288736681257096300222496018593097671096916004889758283441040149165147776845287267537419084325999186976054291616211561643305722876740983347254296635571728198982910888028671723793107317798459314171859907338175653003753027010362387321981340033295913638807499066655562551989512363787771485485587866271028146184644680943206431276058944384056248771306483848353070157373124937610497330892769750728812327361307441757601938701206325895782661526601787997567726929271378980360029783108745259680441117237316253847743201841229738388933183409617084052444406189895289974199296469757498858894306887559184248859287229878121086872903573753224982730845047642013147985758125529176962003467542163344458003431452928433621605557794920410276154222002171570865491634313055167570061775135604701804427763402237655134925233919734997671815163179149839536815432241578510403227886883788751165894829251448048547781206412634770709229655037189032245189754021363568497539585545592261246833065506099311140546063809653409174634515391130531145246220188392581038137385258646188010025844653099015744127151640985945652737491411932232295557338038456505328694884308879396222764350551077539004148686080573066616470175286297891476202104111802412954156655803916803661834101682602133815061407248441270182534266291655576201094997033565940211985980939046349576521136753314388596450501110174940995813653545454115634599320602733052228694114487526023356338740456844896948456510301842580658504792676265304408344523169222990024632954822392999776927112039469678204371979601105591845976425097569273103804666672848884830402035241899186398992696064760919845098860097218952856735385460272142198432018274537079035760055180625906074904129791873357777115210500102063062785194258273184383748907633020688543040505618271483859265335583428047762868373738775556198560246414576332546580469479891461322322370435169472294425383564371787249785599989939883279312242198881559747077585302955378593788619236981554570282747755278868838504415411510015375977579769708994015268602344443938637875917822232615441730794389451190400785957161944441332104848874052511299757118853363653180111406937412666385429406341352533246977531186101381515645448924756179062502695680722334355699644832702321411274197777395089939568721224948150185897884702991865766241941994540948506818509607259693707111769019652732362185489171000394646682556925611597197398898650272188353413598588767189070313605234859760958795633305369783944076281158614508802461321659686785805590101320535415345110154952512164288739886145851439680659609632371658643241450097257020862399509409800627926517403774217136843199224470548333516227255550839383116386204490337995776857543594603535549245354868841149261469925292117268199735689319440138004856296012190977050503570687641054186441195742321017478812045284714498046274672539788638131088366347743211552544092921649195027621049350173468749875343258117015470294252239048555228082527497722250684871294664036305564615796073812444906314244455969529140197752136090553617966144626629077820005287727367975538803531740205182200977743096983095614243323252719209255667789890180270928736085518296200627548127659759152744957242473631816995519635040133132378026168785239386077297450058497169779182482364213069032745736142735426886495329688708929940037740836494431289742790251770683400322396152683461829217445092585666804241342369913541214236072372031871981010621897254298850439326632687993748002628591738609800631148122660815630013672383188923924945236745735955280715095696273748809634669004885195655534030286798913768731269647508041956395073885915023208559824277826333142351107794741478442972394802439355736809304907493934588323158248669714727122661526260330330504270560579656185189260160480559006557420830441635106777584703403724996351485926259065775914709260925070360091021825543904028912716871860375947293592894659964126678765923494434440588202905024792729741115492010084527460215111133222386828541650041681806389740022280161558724069253341862728598467595785510293779884501970499374191631163675653814917199301946928103389102404947915308731710439247643863657570655437481539462098333529921897716496136370631908463914428116428871936890492752200760502986899339617898166829045002532907904408314930593570398431435809024442992976614213591882715926588123259777608902180460135197430077948278311961924875724787021678041458280211779721383575194555720792557669101150943427304400731000579312715837731026668269129930938518682380392733046416547588443345384235353423529279477586643571981073533652516545245206784081556330634956053583602506479638026483667259571337849874376011597645379479821814502685609214336349391553474477549798127102268987745770307213732221084511482137780613925985881679896912703770305742783091878152134751847233021643919969878287410393066348405994089299468152509700740642388156547180048312329857324618649312672192727541820910895485441809478992949960061157306614557486390123211196145830758110801604961640832139161213342594261196877565092516764110572475578721653307514273674160644862273738402005311403285903400741104241122328616999218951476793870549058486041277997583263466122067847638574521921234825514437204199256264095126584652764878764225937468791822529348899276366280195901675238772309211712356217855935193492428614205962235995738212790212560362294185141209656687854099075805834522810514538173614327525221637918558061772940390743635513295179302124740120003473095088722975477986289083620790967941906090625678314023802045292286401084046091100162303017261036121900390497033359127307510238388505751453787984494261640951610440047686464354697690732726742388496315234608516430227683152389858405336340675973676786474696765138948813840978593745185394013187155254706133177754944068360154530826994486626791112903218234670191069751022968429106669532804753450463430744770615346994636020629073969862394003469027439605825066691808901991669520760573564208708006212164390961561462811856703758739382218989410007807471116433308263268333726988641010369034345360723589262272967511089385153206260177975710757679450291875264726521122932521004310196697718256002053116346058739682313544217954736077649118524444564990444278835907332108720361059423725123395505179235529025587812160684414198434487486202144374025911764979754586842673431013581853402053567371552025344009451407312421989583965024312563601470872001830181736141098506725313096455924087524346962705670100922843917939141152144765994612895353374949584616488358571378617812253549621984225910611482608829925552992321857496755383311207136186647781821627454638996891763812444527563800702122450964567923719169291221157498957971871017023315972486022132957421820055397433619621001366312636724654166242020090064242360013284585256942495636900868031461199765349807072994052159384035341641166872870659958476620696952607889111538926586331141528648977924913148910700245357043132197936400407527375049896962008484759196359873339961104716093739148578010428821666269275596523977872299881359927218936257023710770872559409191932186441370688407477948597375968495845143579548146397677259244420254735013530274907844688805952976020659403851879652483421220740857831034918156699163872819956534634456443719225107361159058727809782430077690615007677751897284484968914651760002358588947903601765595970391404561843221889968289604890625234263674811231950342465813157084393025039985649924014908369290516146434416733081323465333781473938348535767366899151944927204458821678360478033016676880604823291550870977601654779541535999495985219203904643817536285566485510476631787257867964477115030324749014559227875663907438911759606942904750847781122419354620894983445466428548039834475923443392305066654639388344394701625764886408366536794346269945132181458529253475324557146469641060387609910716019400626363356363263569263836798062885555226721725928782601521455592844640046437729494933712296346530032180608044123755148718367658963857572320122799124131508179629495772276457753077578689727990485340059761988816697484341957542174382259975220877784414115228183966374003020135071797691329533172768763903554920092086583849921466061935370643863457282446125082900664872564420973841519180146441116868250644488064475628334106336982900934630172535384126516128224025769832385307569340434208210258493041345045189573352393654446413111187468237016402352128289654746680500092383719726058472464701033535494703781634899169791563540006856158080530487239691470431281342088619590023782515948107120222161578331636610771491047080877513770624511564070310072089279779660239892561706335298220364916687212367405388269599381723219298588612018817603852876073753140650229513949859069584691081760745270358598418265429014454231517091537227957594166785024022172530154761152602757488349836147693431809279059539275948131867579376300213020983842866048334394129844437037130897985149627677360709203493812511840401904739373774098989164731734694589980285668047009916008571155527999755268576342031474190503809143679153279665482294713864999958112571513817439774648387363850423197421946461676053552936389521656489953339316524454016253256611555989263913280307199400708548473513985312372628520544296954603336899971788979822865298811415674285804905968939600105654682609771599516330122103409032138490226630853253724126813196658049715838977156621647150936009907937805530689269239148233185234937601615804522794404671795609930580062504697065106254397612666665846255130462314603219918243905419859507188737758005287509190463840488306803108591895716650203226620516424119214636863306182578886501592400518696773098916830665380726044101779278733759555218367504591032480655843035498469713208476604780291562698118291598148009884331533594688143636469647648022955613950288658258896390466106117990936336558767921674269323588038262666647273692506467216238743790330761110700713707845872652004315678651566193065655795118452416952063905285279743136230367150772101198142010067540584222142953186426088495060960549041428280285940486029538926181204548855307085308970037249739614672541140055800667260018526298829845432872371372393713799795886510742922903070788102317925979958813237468103274128898970124832349696164830257794000254770413654611085114310377568186455966625949222401805543516059277113166445687215145212211789753986702594405452861637654196581232966400264783276745702641441401108471017013721782895257941179473747169338970666144781202511778963024383060042981369789990590668416542903513089114170506600354462940688359762027937086800558627190404142706577087660165169413935693455503990406193015599612307882051966688272076153686002714431409850155381478326742525608242085224151088888879638302000474670884447944309624039448292893502340279384692086866635881470539064639532453388136935724638812507106372889746528103572427103184872406593706965441870319882431176778742980011632260373027033499921870132805137370974286463033389554865181820000709101794577026938886573722509853573494226962304339353539753136084351618985227025271752269919092920942798007220139332103122909867460899016904606507792290436017654400716175342436279869192219986034174971668360346307043251058211186984917676227682429322106980001197362117450455776927084525510688409331710108132475562746751475412417790441804725969688032050905359642994657131020203967294995185903109993652877920861399629498673680510476842303356479714601522567848807653410436120799980267853859298083667622938432974139984802022553476757911103460822612294932999142862514851395045952504683687383144309801636173714881527894049515136046676130981042764426388167054358901489506373265471470958880386777591594102287270640092050609798108700633289606968819477688555194429694818277890093160805079690221633258434948488693550141714014769519912924602892569403388315994838390003686775981862497303706624691296817827115995313336051143156530679648157862080175145455771731123127272604550270354257685927295774125127375920104886833949622294631199570206395373590099564523984082666978023814528307168274128442798112101087304722213702158887751805902341881626780933560433511648025518261068726332798181869849963262024000323005407542539084359158223110647176596980084197890571260656822994831295975193779571916312718168542817008618699245954751786714889855014854887918263133190304782365196316504097565772596436137356618347114633361461018668626892945272620887470263734653249389770605679984999210832464626081177870452392829935740177891553207309630277337271048158513772099546877723360509000985092713072359419157449168589973150033221385592331882696478910250852142807084689759825991905991125284754425935372724025704317068400723263520490039154418741512433486465380365815285684223653746347893675486239631688244058890100656373938717893530034063321238209731682985222174274887171918214703082701641868767813975118066232541138477950805013149072058956412425908597226889697112979861900345236335322122462492526843498962174725811351162576881877746399156718901996765014081050925104355140254885208229720098000215551158229761925393604591719582613685755075481350876981495427360395466700710446042708850849944557853420279569240035996731617489447257717748130807260974199385947897400690329795201524475941777587709669529084257857544702927695204046797163922551778773614346558160073217766070590737589938415357026886436562034716875040279507735990711398524464214557896077580374184381740790266206101928309628182875501554249336113795747161678350584563973088384220217131385098308021500224917102288479155706647910513763696191568040348918412367715862858413657822145360373358952028711452299515349183023703283612660845409358493497251219786253572327313512028886708109410205161177859818399856132656526240805732756821739910376623025371125616676696379125251823923804212093149460245227104424511738780910341559409141766773310205732568595950868812728910722480746927414135825069041857252154808622941647314943730921759051233604789159391617458236617707379155872586893694934563020030149381548162135300940985538201268793629995555122181155679326883500956094220818169961930530288355061342067208031779979740420934889317314907813677780105540954052677687126787731225333458575571700008022159618823272885368967266284797805112182405685976478975426359203995354191509863111250891487119680196742165860532139063532887745682735719323744242369897382695934575120046216183051206741903194201269828476989661454197667346450713925564605932176931087428138994299658702499482248590596612654214585795011939562565500732963595150902130659770662326831091177565091225126616870381243157375594727175204707191519863863343328505173516403530641310597813395664633629321139574287522883150041947171701663880812363498237721161060381536725667148626466209255259450582911560727505587409994847864227978155625886997354494689142028552726910169688911716693937296320770236114878754835491432234606810123188345852859595142281423395713174498899420243345528831294747494546816997104090886181965660547829296135421539668487423417496300429426574052675195234969309918791739013645274063753684701230449532413719323688304450227598910126689125909455858576598528352544213459574353710793854945424580403175997361744199531257864844980755110852228520030686580861730780796050334513859110097134521194616328750309499740120581470754829284305252985635086502168473654572186286235796959799761177392908577572242315392276451462277771994396426202707506729614498379567011647642779344067189737642359696663504568704259731412339278798789144488246438005621624899083926527614675117676684760906346011332638644153448015793295510493639055623556052290976012789952900552767116531583798986906652377622915786229334409045400891324758025478012051418414621783088432232331386610289172997343578022672382207847669544012750747787072933347789410682645892926259386136967845289985245642160248495517780403814193774043974118620709976303931978214534390520990410584195346898718242055070548083703348387429575433392327796206143109405714327526769949366033031465103790110377359613621107830754932555937431853656068696250814599903373168716972916713709226421438480035267301152354433424142910723338733091409698313530428183266303653190741514036909779932679272007569240108451878949065191172336505050819370403531108738062327537551501114586640031666280781500439300170109215435661475888333125796257745646512676404184943709520821888250744531981432054024792024107960897387618678238219319200191109136582818383459998325820931372459449729404827828518012626359343649984986556019850931988653156764592273426478140629179762798030273342758825721661396067898262338395703787386392052862511713948919426901547097317260440173916529304135468687671824661504445203131770880094927170040986827408598285826935030790401877428243547451304715896295479547043035082306031345833535725248799794345357099851360677232500890594850116901038646230201498243653003929295753185201342094137014244552726556132897378696300856494652699759028454595342285312963202307811701528844536114336506361680987267337705426201587730428591685948085507956851036765852945954421545835543244010876347700602077935501014873906733866324639657249709549339419495863878883179899723067682046139577665876431091066713818153545529441422281911948129773620489635866762114286832120317124494478640518715026875561883857132095706589989323507578798955740208425474372351157586256575941194716765635688416646609404752881337738176170577634564346030704240630340604123748881149249593783844414070567779434219500260693508991049666247674569783120071041919608659210868537686933605282109871545534325685782432156511937366793479602303529602495773652270623409213639740992273811318566341116349800130172617225663294891342091337664178726740642844874918512551047139288375228430422791088448486133583446345160918248828814939723391613429381654548504726494669759989758683965653650795163600914070150135047420139775355610082936881172675074785991650752812852758431572125560512818869418959579438682402049348858797576602614807688084771439691615528498737932618253877468633943154874255154707334301153783795311254399764825992170147556796749828409861409112278720082534747628852183749047810133458710046768906435617518921828534980197956469033283348117314746616459997727703427703248670870785154055551987375617139131424207653616487614082552971140970179677564858329631617382674219097823901799103978328381585014755845840715919521059734981598304739762550859614129814201843106104302293196081515510377678531252298781332782437273327501126344096181654176056460365678100273111584109701061201659757091124359899058254448833111002030288693499694290596691273015743272168478708831908480505894237329446472049782612265781056575549645252199484386677764001886110241400235946745214820998144175106983436188267729598177650432782940305846850643071395223823706751467168923779971170203642571757147250243547660912294945281452640298777866181924880044994556709977097508256180369786025604942129042407323233792296485872609210648622222769980927757576869117458699588823740546638636717372987979443689706216596436760304702418713221812895803352615714525942287625264975758241051785797790333681033109075223145387387682169307427467385770443088431611144602409723740275100507444378435587791009650755904887113897448128952669241871726241675137107062799146608861281237934664703536971437475930008013841759347428958347435806137199244262041683240465566202948785140816064888306539892703210078619947065209969626555061689504587065287522302989851331048291747379146368273425047239992839951909637449569854895276736174481965473696821705016036617153253732268427042002140920536256773782596519630085096728874882265901623511763386251840292072418788588176886337545248626249612993661401435443150145825077194510627069536431958054667723946106859741178927074353904712400965977905377631991096053545172366695930007933916186629626660020599161057323400424190654282378127986061389361363233034717080894074556166352615536940905252340460656092008538424555104909261103571179985332089043480964958355042884953224592881976034152648727602428002029722970479603540834293718847785420348165503459979064454904506558656717449702276073653588194833966597947642238842031513963191013224001288500694578480726490607886157382214066276227046861675906447373208807602849793827991426457724098955400971320317391055420326476622975892329815814794429335701742890809374334350398822089550812084428619290107259906776426595241735172025406402042714348333503493863432442855046674172886161690042833006169609646700511041279137568272193706674550783295264159431767982777594660121650763117423302361063945180706033962036499094731231512295860833006958944335361078126680656811065049947353384914947242260421280359475547245356102490896144999302341823030011253729865337013274459211484709363867378867103095575974062331451244252926414956875022117837608427793384813356950708142937825544625470130937374084419407265408247555325534548671512980240297877308703471244253386407842130795412789414846069861381544692636788449121849241758783364795360770494513149886969454265569576097256491326217951314821413828219152187708227898145074826283853989950016508225170578183404240139012572091540086835106352379645610448818231600396370688309807486480594835574423092799915626786621938680365279989660945088293109398139962599828602502477029955985759890124130416721273673027612244139313090145732553111050679915523171907163391165262344982412136721879486144070089055931487795581421572356742520413704017345223020769421408537801196970175318634107860448564287549166584945257490089737669537737817618049921078694264959782340473716368214458313957410805304538805493228634613900879581303055626022443891930783040772199134281452541267966166233946225179687047468087234572363420452872473466911824799458098340228148973663010823689638177804999779251926039368165607960903926750949056410439514828858574485020983488289069850664460451774213683073056578932973629127399294621812343742564064854284887784976991611946668577962846149412984240423067740485441020472051832260114982670535944630175482899306410417679367250220709009136595509560712180259908330743027786132580514669978890072399574839733114818750073261348803940689149977671161454507417672011578734254328075375168287070020683234839604750414191375367686952607852930765627422498368644780038266892138665788565458536028534041310676495672938353468246112643397015267176820276348545435068673835702483153790567566094526776112225006917876603997130127072732482813929809067263700320262961711619472807323703530587381293786469970152300958261761973051164084276726948514948918297189946281671407545081699696040696922621087362040066898992081326952680869529391374706121260600457439058071342183134967688952270206889845161622334103662178195671947155593265515624764914959350048754147176348994651550067542732500610724653594829887788021909793426464051622274590860388447106075154027392951977069028615587572957531913404262319535058715817729180884617410637612869787673934342471142788520687466331915446086622155415565608552627164944373092548364927251836464276567683849338214127369428542470552949963251130576816021641812302917871829474846666076958755594345489325682373834519044699199959363542810928279034964702662584777730252801112082083973364015448161323653735965034182600400055583764751041399198050263511928312025346224176668393684104696171086332455775091223141622464962040816161622067168581858672839334377507376508937771487649523147480975337396217237462938146784733168577219873290125195492305657596422435415648268856932052042219897529267716383061693228516891761608805987208059798550329741142593390510835516443124796299600102198110051303254202573540468767099235367097191803967092562580999481750981238692449622794683175511447590308704721970089617019451598825753104720005598145638048066311823049530368341936354152087160775156916311795232180933417606875239963350929908925299771771825303629944285320191886600510720051078433668806230368513164399183829451647804956705254885077445861785517071892900980929790126587553917792463805471587881233658928042231634760651676153227970567238665372694280997467984228844407720137217056762973074310533897840555555523423981362305326362292207039720034054002169173019797185055357617487254836146409938519342127937100167139590186442010831963274935065180513185860469049776229595937271921259789444681670500019343240595807176598353728203186574887835192216221556682722315596584969388376028015256494956230845640673374155400668118669254346350237136733484568876257287635948554000603109237449766182315496453798468473941387485443978299921581465636227855388687123766838358657384769274797908047744482381906672492282606424400681639456468817725841719384371372906811327173641591461835138600520064442181382932369382666516534864953423136382842209866694632933075612704991744261144112437290221413257629326679344082875542517149563398106403196796314870885584765074138122984806960303021584941577722984399387764226463662188659384565718928871710009732228063798329879107523220887344317794660815054693694515303193821732708461039902860898991878260463722023899090738508129108834685445846501135534582633713848110145587607777456897990003318883219555817504166051033940090847389857218284115528125586887020064680680513971804416161604613088007300336755441360522760724157779242167391131717271924036249799441093760082890501417638587298907382755951303630063994604689456095729776166074630184790309006839231896937359652898296929533531277821072030881604730208569933934408490422362655352214132098050923438270597278040563789826731453399980660404341869425183523233009610198442545341101649215063500683276031710752969242713424129931244846726891884466107188802277348097441328423177460391467356942960192577010772556385882739835467616738844086500599523236254047142286708180012695117306781026160847226886050893960434636696133080233100877872703909288665777228434254760040961517977438186936262400214137547335430178612962164926906365106580833968332338765574612962487268418074877287729189611134193219069226615550961838163578347646110763003108604134731197215576454631096284701638395545886866835187736208936995687557424172901960552512120143168868641574328537852759952794403439682453896499274236295871120337848413541029145071796900100228929841730204215832632951738361684024294922025618104175344607994501471362294011621694172528496433035295021987773439378974971411192719649104430922796323324615290501859370172936202058126442635953790469025175843242319975585973291713427353584558911458048304031211917078859752610474205842786880126364699667960081082646270663690616882777852576098305276133738327989569985368155546189106850149652031220005658179152053516796588101380244390746225266499785087143922090790829183410189561185590416704601585220729036146432392377411604446503313188508162865722699169369281427809464570759542114474301066749342719456116568799765636875252678920658319743157164211763466693369709537571675945498707974286903706643002597069960066370994491589171317455137016934772397911191766906562436982774005894468766393550457347176470348494971093941511708600089922916150549266079479351551567690757917227310683560554243037526654969648508210259853047216350196537894053321122060868513250101075876665474910212115220860357277567925405005935289019671324416592937413895087985879109201390433741477387913140854650129255545516389867124193121694380637239508900879181047370429821728961886778843247786849275480145201187437878607672137074265572971128189550584091528327577706386559904203839345898085992516323215934363030254230333903001000097839277756185768471452243186341548633929719671495056149799193235308238779568963884437175363995379498884825688435355978588999277608314160029041512066334416818801266052605278160442317075046924595035904415752867578428468381695021354699644675923546261567730404160140600583252369780444894697848772930834281854969464188506161474541847067590223279828655533924596239986174664036944989959193502422411765456868866266959220895896842293199753176848555549017881194406095533618418201390083330024113140142658643941110467348155690462501745868437310844140074581476313243729992366090987953619156692322794662163181481166288545043324154492116527820811725073513284656706916247359506352310798615235796533184408639234223688741409607573291200656669367649759784028986020389426659028390718058684860814467832298438666150468961805291630275966033769255920135047821679649730776640210111417324803135278787928917029022393111952159118768735016655023963768970795747492786590989273489391338616262756130530891076994780539406731236360082654470255466906787956823369135393043887115495018363474501229690526942231203760336767952979199399580554973273801375895118687892319725116993601083957745606258065799935926671929746930676674210190500708261669172650220928875017995768925239688515285162096640503614998772964038587877339037991968587097748520639761324078311389097011328120925110312168690897628252382420100787216020679229218150006810359038036497866790183994663821213902307937321580575437790845473237204536107840923500140798762939848865688109061449013563361925331748107153945721510737239793257719619689630553798930371150474637262912836866269246548260364476489100426428804122547142015387876432909732124997185533050369526513146722059437841904522994108954912538081785589684253842790624595301190358808366190706362326592048383313125800017653673007635991616655380830014646632388697242340825822561094919705599946552925695674876733366711738553740367948422399722630996173223003295288940452764033371084865340871561826532697813802551885148506687614502675349248775538527199558451546964902114500377685278191100372289502658556424992083894021159015030227565846779636638654591903834930329923418852756449253888847236528052431835483340814061526817087030828216481316628943872100322187655879539790615226487438844934565151102952430796002737420515125094603476704646833283541897358658059179691364213502724805171797620356524532032659836533473159163353485993777858363175663934304506071289399730476681118008453110028852083443823385065465959547122790887862381698876431981597204426222500984149709683019597824869649987930353506108616976468619305865502925172070510241258592654920886324498303239104782243012286329654872015247913917879006875146414692267708065163966614185591629183922161586500537945571020534909885055116878532757389413769629118170702347561268566283008004721938073107418894426834402787746351502828673804254030410382776579766535163196980315611258880131998066216093295278786726324315052092987356854503632842040010714101674277293212800128086106424180142766238219751312902011345294818254513179550926948843448449966726922723909142304977643284289972931423152288739681122728465578616971156600712468500331856906706357006628593292116255385779420050748234553709563464370729904500966057502461496903893822100003480873625777492894387911359937726311426180832657275469539576076445805670783891438959972281762893965169592172894435436262382715437637858566203002337840932868693175657322853410148591341389292602366602672936980704216981906245716894409110293966625141834073763694712260669069419263613842486741516322880520674528878840111722253991738114127440655527738104036068770379822889244311709269024317595426789906258071102008326546580148902535280251333104245813612385523736197649103863434421296169533117492119480383089901536295676039116381694456088284809443159661139001232738873520137567480675977383639762190441292970480914992639996607265017409864132730026788350172489914932456696764323378520447873724270708345913382702457801112858896401770890297201086990998470228896352745118084838659855590865252006368881571534389075587011464558923374831625768796131638120276661894261137060774953028847905260919207540679920287704355748923123878387411249750825020720615518123110944065789073465982434514858541561205645073477470899743429847351450576469312572297013116775695675694107642430247593836008245592048305802960216092611159384324254056045418453991929315531686559767005637518542036276323404396112893625816602661080525702255991718638357583166865373049128533825145472588506531394530849632338686694170461795884857987788362271631073589688355371352289062304502091200310054750996650635564441954058223242907217950823861309768606514633909381572518547999456780888693564885989494083763762532694925549746165382093194636640784679655094072563105764330327876340928007648262925177051823615150930054788631898695466605997053367676572919897545327415942067336841390801224992994481474072584722632613196328487429215955508065471533140533998664283062422232281015253333636324683642646980882087632967818824240972591387046554673358060876576219727631931177051156284565236192085771609252606944128130821115139636596090198596650445268816568059340055283280900842038197638705833899072202721392734222211805655814185839016927650007609740380260813658431497269104961688910516272622696946237677294465785777596040060593520954620888689566472628588594418877980208356126122425624501863186792461072789877132382673252880114569069710710808947516137378603702361587910935240691131706521558088162822330072549157102691749820732085161253407926673219433558021015519754856523201751828198918883573777307442189559001199594117383187251060598116648057154946467941615613190838034579480697894184068879414722703262432665183441806847476550385029515541504613929037066854527481089359458159836872053388247577825200263566282670981502961340144720818724269442282293811025861060118786306338744930736928547929083184442307544815234136917879804150914531623789086018305433421406301179934857072066087044711144274952133013987841372154924483851990527301334592496881841599825908831036341090318172534233397935183874009297587585737340064590547468039221726135333574336408876634000498164531582829698312417552691973764157587707971295214870613838302518990028811257479273936746718784143571453161847279775045244861984429320863961788879202492952878924464719673967752548048585528022267577264020820778203078732337980331939537006703090110198004353734684803013006978971027268347109483523663966981329565088475132599470984180472882783629498789504658181904129871137759989543119566559867083022911715754989885320236210242858476248808379949084306697905233599337534149858228934352207736894976334889973466801060615212553163228646116839615101036758351827736523029431080187629564144632316919060560811673347826063063831056821759711091596655236719634735679841254186192239875579997561254976213433418881356562916734897171403082963829026931154465078522192291255103524311656975640600707466548147431227671073741017051269131807596432941458603076757873703378466354935078266659554425881617107057812792404430845201961716508596311475197699345073960841084279618849072377695755521597262518707662696684226465293538212817599196683955415277902505759931263618522736096869244617196084157426551924333445561189656369101102671141791752674979376527951156634284959758637997768270439272006034680431166792842057565999777933829297516127847349812629383219963758102175740197553015585155375853124854606416874983863593512502314308392626554097495259413671116925428544193901004783176842513538074866654304856836650296774460868493326109940184031142112325290070848532454934478212168510747770415450457694041525839804103556762296783105237257101087508119734169515851961420580421911933566834679420196863926113382379206161131872030893264186940907775905488449380002925001348744990003577548089436394751456526889085493234078881119861936798982696584922088857798460130563212080432226933241168549184668993153071250703587234218793177707740461236190097177322079592027189839754318461595009362390679132017000300905444161353740254909706116838001323647952044420024065148354716201567610334941218172172119034138496613139186375007992582779129372027485904916986969292850111480775842374815194620631947286630996749716219247132531988101575449831970854652190369532487480004910247859864048630288385284902453122244334083915507860389047732480264637158392851704134751820191252519094003837213280413988255037857547986927774727089537246328997353964010046848694239535931715667026321266500012877931265410283476960676229051658969267563367860266364330033488536950715863980131302573625150851074368960845751896171186851422505423193713867044555953450156722726549116165987250170881934200772870825560505478153021247625503991074128846286167756745652389286234387994816771692173194235829298755828764687910451211972013215273771203504819629579191971861397048337583777616605230474952786592740580121314985337869375337883987413806297366628514619280757166364763826465435682330642537000038296658546389809201795930333010250573222122241480615245463484673956057651400555151021888055071357615612795894380611759960545588093473854859189498421691757116344162045270013357799039954819359690813699593710373919969322918853626671430152445689145961018658983713112526041325990548301319160616692643195425635390043196912635206012206720734710960420442349889285784717553998205179376249417236815157608613177765370572552343856585882756139010010284116964979316667669459406391860489296700793680354653565078721735098315594543297671081615574463365373838247406617642285795492575764528179682004242038622432810043144948300305507633420178631949875483297417055330354149227379184967858704346743884616802355082883011699634706143048635218855821466586949039921284881889321780692583663871039286510215350816922440496026404444040403042839360028674391038574677689562911889543385446774333295657544158787238719446880033921275490551275570828999556159511169784064236513860206858284583949012563063051338131752489648966273709321155197168096196103481905577411669311571933938459406337538817115595944932991635925905790736954226681405899381442416072125794921985428775602270111794264546733529490774902089583589106902744243463281035249530778172907445463586448810004088964640278755154907589667136795446588547012930648778689946686217618760593863342617976235529922193676624015379094908473850429393303863202330378767906555865474706453315913138770092219471766617379956771526496541760715425578230698846815621767290966003898627453984654299822540679249937418813745769259044068942397307654847135102705705432935205386473702101502208492747350066088258105723872563590663069858629609955871609543056804567832812762376819488671495498309990820594153544404259610613737680961854362608454360832907408474200111960002344680611119975324663780363177140255686553810946758871423783164082517151168528346640702344299955174498678767261036978182508947024150742072527775786367535578323271470924216865384734504648524276154090732437898893256784368357535948432687961184492220026198396274122112255155409001537985117043990302372156410774813419956635413080042586941447895459649683384131328507964615665875675555675498363909864809534907986504664214891340673454414488342907717154071638534962948500074398943397063048470594396683054963454821331864761647551065463767650949147458328722911141091363666360637583277240693011319182702192033856032884093981086084091858919661574571449610881622248301833375000729158483126614055073990692641386169302527240862446560056291138369117549999334516597209647062515214104661265152775341927635996797162148674346201157551901771171778085105705598674649289149010783281343449530824065717536428982391893371829243419683014161940154882056511736072148714769098540403509112164291910609040196583159556134732968047766877258144822539471611356231937643955987883644836405365844387459000744712732084596910926628947111683135698253602394223249866913083665263757817670411454280448087186863020092556401528138464107385218623033016925230234230162894734085965248071108925161418042114086146956887385217520858181080743768639509115282424380935434156580700373442616028939681058110948430417554985412872133992200664547485132687300939265869577843034746939691461530257363294918400946973838087496418925693225946677010616909530526836954462859165255720235517302547186899352424217599275613504658213671142819522971758773614270763320721398025574990107023061399315514530673702123995915119502108298863023534977303929887450673508401487409814809626818394119274719270384306798246525283569590812735728662891612541031216806715087155098984735507103429578771349777861328306689499008964009179285989497863704205802774540854241925978085737942045547990251837364531043313432819350397017870578288963754029055491437857360308853178219102193167240740656446018804714886701297373477695892439452266714732688494043512009962169123129922532890417750653518077200636983538373660114266349903830983024208342373654332295398854170603055042839702139586312530287106072450643209585261062468556582115357152230275694965452731227113572368794497465075111999304035120445086709706263866516975273293912223021060804601342709538471657813045534328945940970924649519075523842649337812359730379324991669068001960317548522518125830441819027663618623214752253521429999488168103446082892796390005299960223135492270086143149258449487067001306459575811340850485569570416933990781785052002556888476233879584608234013492914550679052179123005864799431316456675554703728660084467812988425071661741659029144022709629265029921814481724483450527389072308495889728214517739184915110731951985266431511622142657138335777952593921094767187655211272154145384062700891633051167548746806499102719188484725848807500723408506645231432333787222266527483343718680802131396050999132228389387090149651790028135667464016304593289117677002445471017863027578056172644281911176178567144474255527220464971777879186820136254966282401574412980694284693124513618973781116208431845167957256196759962728900719655976529346660113516642215157203840226530636608941283221818214838610102450006590735572228091085584575773477690813639511932042574718537978361047338368460658515026459786636118649883873968055251046450765340419959779079081205944327671198128673740479457886085942650621659318459541246274405033394971177488052532300945101422995489189026301602956263104940066547009924419791756395831475586861865454792717649376337540684926440866725040772590271971820137352830354556881595968038879266085618093007585505735352463897064407983154355255710670103968223305842407327895005974526018653670940885868476517507235756957373435969013761261372788465617005062032599393890997413182676312120681094391656509156866839016301435769917832032991709355636479046670202769784345658088437732656515524624152747106553381498100264064635332476870537210818533286712791506120750488491029832806419436355194218393165868509813822354074231726755779159645606758027171400305983446132370815969147080190120988093929855973870208652024978551493668728619986359043243989415713314957373603632057357537459216323284440978449124615253279939026921888804295593289845217891975563603844559204899666463232762846916236242274180976360554863086828711006712432283167427014508839979019120082529530462778379678376972226289624653825013691679302100663486613409081311086432724052152321636253549449592591907095547211326731176113457986363777274435492188689430902853304125546780752493829412621266891495270855379387559644929084772102331323635447918354775026122729485826057720004915246325967273628337822747520531970444419309283027524087476466330966387903192435731785724817270518107376970329030224612643096856328285186744912803966356720550221928832332774869057047783404478719019580542397396975330259393065394088721532419979989148641052862368593583659981276884414207164790775655491158174171249211146240860686890533344489687868889864395281482371399848161489187780895147713967445052767387217544815565841532932559825544369774630605566918075708526186108707889757580574242704515382540026915538163872285972233767790134052000008907936422053897738038254171566879833586885888059003575451704925143551526555713649759807271198135057922303137863061980341091229301954787255267124713919239013973602363866832134714108745247466913461090845787883267605537779764042106379331734443853289158425822374587728365575047070476795710270696546669432329981949832788027940983054699946291555943180644055322838011693053196307484909276327098876810770100920018425999064967613224207719326316215306880151750775550967994742901735277856535168898417515811259652936519705473853040293833699029422961293986223137340710511887321246960093444332393208250673630670219746614767041284854806383390827042710335716576829246156770565878441612733073048408414724560829827170631758048316705962660167436494250135996891758011327038421247330569640172720102036693369655422250907020039246771912298517906266513735359987419520641269792597348914376354287429317704809682101348607686651987004097996671790165093252346743101617871744782297138176447486171704155300785006697182233626289076508548027714241352523098648786285774583695082487759301811549726895139499724333553839511340162569352119762846845278628564551167425095202292715202729083803818809114451612205426330890142966895243339180879297061816704954527239515070294791460935311531588243467127634719272842796905349502625436382168758832327134268726222517751960437257533093788648377552942427765502416910480715550667929622153666155750236776482398338569404487713613772225963969524248686579507740562739996731857500917083856383376727942580380552502675853748131955900342726062038089901462418359873600285925984237418037350295379989701827606666774460065361756054156195018578320062078904656028369515040379922076320718868635139589403898351872686248856269627533007034942363624971965480842540342749615658965404300909791849320745872221309402043691968725509849907710417365771710110560234172133081811571760432820865504942614537351342574746736689165124000642746821739160820929001892501657225090350515651386271151238121448729577140546377595501363788731924857467926369087823137788834241746592907361228090901655132132427571638774638957254321446786992636506345362537900912281411201029127188803629403833422089174206345434186082494713353788066237288511186380085300132433145610415156187065713747785679827195001774706939045806425096469378869169703808368653071382036688003469481230794111638830132883613282680909389978404131792395632186227592752522606684130340781096473729379841259930965791105869173468962028563140314473368044039471977440112181114933104575909457490775544456772485022052098813862431038149022670114480637710098741151857167651562710081798222673270691071361909081433503696506004221429435623183412498550807054732956005212065971814665588288412277833846439040136631666687805891112789887751279743660534222999156172596239105730929079390926296746413673980440941475648073580856840753696795294936754218411106982457005780330500096898668924536731568778275606868269031146026924928337583408364089130030092257772154416283272757102989126116744964746304223398371300305981484356916739615871845685095228161662875375314080443503549195222587081151884843499014703823078602804255990226036028062049017947598300559067509610828565259500935590644319388669510965504031286074960958577373787711076779079407089736683793880245145037300310784973080685503976174931760548235191177470035672185828873825722154588707811171327603107027263179801171355842090034956546560925008834471113032557382500007919699161197039016375603826730824378044776332231697580998634186827348461327659499975725381430772420074067801683859399605369932367389401192314149515724440604955956538269076530732588908009605827856822789892035867757816758191079342031299398583045161877200124708738469952646567651993172417498862477877699084968839644650565203650962641413338998583376495610497875324641839639485928190764968890444888601905568761109252410097168526183874861461520179767493050765170656044964690131219897241041411058363251217234877416532884228751515137529552441167310680897865823373124915159272075434920227208982629673628454403453562201551368309644152684748477638145617487873586798043135193266526098189263216516209561084184807826793521644548835928055444868857167189049683579340765270481716803512548114992169131161738361857792004907106329957242513726234798740710272107046172564366808756838396936121766842649140147308333522079898843348171361512034006433533113321037136008151344440870809512517701748015880681379391528226152217335010033652467138773688593197349625311231774052962260172053362310221004947057219180896922646061926642793459595519784456710579716287964910738779192758194783555284107454876791217505949094163445086970498347759514279389009084875729064794368322442563569962039721151671404964474464387472115775018327863983023621289994537742629052659149260036382112581399818322905486347983823646461363582824963025725582547478503432163860120593022805042118981446950614117092914928636584783608589780090310815206861817714670853286266595933348238721495294355643427934595808383618209980334957053763513485159697762826952080489580462063637556975594589377424884356220808801607416917178403336415229920541572479122272797789049570413052763551788545752463937891744561536436527696946578930687679184311769263622766563302253190374525410144508654035742693052554979101311889261679455121829134207796818836819826435477794056583895596600897512869363733720799929483012906152939304853667204008278825184577345802346015393984560168448985468350513085390437471494564755668862817371290883254668518611936341735884037520633777697724782055090122677759875766587234366573058306683922104752208387685297569395940169346915293336219040346116002867938931888714396201919795484292211419676701145868617953380185574061613488891416237997899692180182069127634865723314582675316168338108859671033643675724945740855498193050907094950860699933846945403654696383263509033528250748810504982357522379818601465902792179622630459209033492508841337637836883822147368930799716221100734077337282540566670265262950356462091664326815117611315596643631849383282261101803732085815185647883285068950121483510687068017238714006792754406291616734358502300386906540263459099389408482619294731373514440021214567983912492655589422984636315173794087028272255489126305466611480917721537500891058075686483042655330534538485597586151334092616440710361366180292847963807702049108597864844391446518337536931540333047954146032689475666856209475553701788663486875966872843624948801666868332440100045477212295741365059731082455108064708311403077220935037068668428079273391225181125373660365860967336320152940700745220834317141666337077798545958316494771321386928497534497970098981927622669766723088202343101984294421981342178076673699332848564708362982371227027586174994470986533724231571449452146522443509571822398703797735883543901080482262710360774356166371540775792070428088975597653200680344077861130259935248316307277156596337429011416031406039130012250831189733559035611366516868521273862081231311285092114000173152527351849071869347166968997121870558446673509762423616917244101267156007811625049954094795128868330071956906081926558536286659478183480591931712404609848670286692204520486959895066613775218825258011381021417941823903153776776176565141784659264721846097161496425974847493957735850034161870196119000805651221362422040586511862808708602752624264092528096376317850630902896516227337705141112688297993808974422417715491169085656348418624922822629821027631449593259057452907713818020992258647856256167231176843110872443438080832296972659577528985089850255780766583369847328448826761166583960955391818992429748840535873717570486146713216179299579757914789484731370907509492387850645954607203989845769547086797254438730277059804856107682126919333967041060255118214237460717149277378495919407808105419733981943344460242148094623907526910720229142401850233953587505221590750895747178472798319550914349646878230758691580422386484843727714452868289820476610848038370378172625937883549922676374782802748283120208154867848183770581550464930080450650337258083718523812202786043461289203445934090241099397490611072734486405697038125554780176996627876063934018874399403680194917967133801753056650825265824846220295728407575900733434032918347764205759786508330768370914547663647349921985486446753809806981467048053618367844365510192023859431941686980228564267308564081507831572186743868511121987352860165834497790347802634242686982697272333329771745505210632184332426197924120189490237924811200814999052210375349734990893564694754859296646581982704270047779121777947343392251042016321398970831014422169480464697567587626170059802409876065457728339355109112136667500939415450597854064903748127920363526632179937417562563065582691124013062543086492961556827287691354749112001319929081109269297668970043694862307755788031897599164528353496044949287556318148130626985028240959180902392612090691404772373053966678092738161960230979248546202433508719653467919921386027065885665226056136705896599860175165585169428046247381788285845072677410586088320273325652511302140546057041153284667134111396630006722143621051140180365772603343966502015386805029864402029162367094342508068789347347915267275633586404718963312940586914683177154241745525603171027592634554105893351248024757551306219659942463694917391982094357813022455214522539677261066743389687818271145081536640588636835983164632921476154544012304936143560886023386184396352299883017120816771549506062505500009324209611778681768034361724588606261704516788149098572560376270945241822347440762007509402443917319205092265309439500686395214392199198418349418057704759080542512471038939682426066635284249534386704083932466462123211149953573722215627072008932467781731452790065010295022411471413190214894063404747163841367255241809678161685585226113958055791380248438556346962469971167299843699686610550509126709115003704314200942417061198129885336680599452513260440060173599750596195614377548776991322538552982519610918234972577375581865315979785097441819782898269464722643448186709150620605418347533391833340878314857555417417304081797343556626456638064884689922243472730888447750716232047836349939723889079104622068407683426218747712960714908008975777629138779469614453764282496790424562311628975666589970272751396792805329715757600648556029512931904993611544272560935827457202155166244472093496814529562842609586890104922016929249024860117104642819497214340700511636446869298359377481863419773489683307329475519171512565105694590444824147004783943834870542184863420892331256053781158453884033617307575906821814682455780059349929035574276173136941097615793572197557231423165687681886949106111770538590863156490556585131684169145831758209170908249097029189125658610522178396377914138480874909432405715210038668070136210293155994714255115962570164978253148409991340862531790715307423594423527485658656555695995201522308321165188813865102661198373356361424675251568865608130743665542208088770184540791906772439422831015188936421038687695505600437126167997517194378171398423601210522615750322529282336119429219223804689321920369067228213349491181753466982269129508852774177037963710529807401671699200034304315973341872355339832015522891464890000426043152549424157466342326319983735743672494032647719979235281405646112533297589331727421259422083016334690045304026812709678973774176590089639959878471917294617329359381758664548769288499449340467008338058556646270592437195704663351508428859427401704191960785213203848738428541989228109258657721779020529989668909622455593334301018586019553690762303523602907716759077611844383015391785642968820593557479063499512148121802334060653716549642616542899586458259996984594567271610241741766211093797998974240563734279144311076841608011098496332536616010853351718452841479552152981723826652186445941481371841100534511535858670734684658363687494398211928845635771081046262993710713243191001757499601623013718674907154592890438766988239376289204064227160169438152886125233637089016940280646648104089739679762767030903815731232405996811301613170043413673260376967046434719664500800139765525919294829981230400751221098169245130042787463464890319606064270608308695138056814745975470171188537133896367813204001855352651074186507605349241743711955361648889956773260595569866155394955295582709966922689264778563979720836735986276871788095442372538186945157207203209064305999841947299529761963543953989170079560520380865829689804636502244502728187283187386777948278454261607965262089795265840664082082702150753959369731902430601665117267609542250037506806251087626599283037588950830587776350151275703176541060809023440478380525220091127407530969831140989265917774811906370779781095470541490758001154189727158334963289578725634916774591904077478353070716488754762061418751268929984812709631999095107913906936242374769168369738396461813043495073985645578542138596713480817159074869681453469128354941649448963780155027219854088517701487073267334057510059253344212609591993116505070287023600547762291284556433304461182401589938448633995096635026224809713441918797505982523144870480074102500458392786965797743634000095860841687539445489240681029304720087142690272001013731938364933894571989332647551880845123930105885014608205013198226598642918738586532589743001994995148055429933833094722208571927772124209960635208569117239836044397720742355141475314740815215841598829664389445319763310966155724148987890863148514987405476631991500960399026778128421541527687036734626631192210710426039821785736033186969804812963239863750432065098371960364738009100547559875300233780046006323720228807020038394924305098951363033953507514601657876838713205905228945035280677407642344113682478700981759949454520365640486575443285274151377484889221304927831722564579022169060477881916553105707751106883000413439673789994498839793559003154584004204108410226418716162856059344559895671156812995772860146714682445867150445941373255298817263446134365319373989307280711936547620765292992300248909660119979146027172535103333884498302981587145212313866897680559557109505712779890216807556587198472419073255880237407098853197609930228270586436860042474954826172826169942858820202127198373011828959638530242973093870916037540159824688388974647376472475509483457716430732708217176675830680821225026807478792279647471169491253630959740424279868425761926805681908622800440507360401063976380528548398316531901315203503638403879975519544909247776773380095565311252742871168154815339112596950382818822568469768566970438580943217380072321348706180264798160003657753147630904521638583530781954282747197993924194493070188179767769157208896949150567213780211397998122848672287070607697349794174511700565319125931420525962479554661277837721009412624579997090475756405120661171885615499819325905894647385415986228489991683839528499019033955997900683944204191560281574212364186685677878417417493212124169871293303185684079177590672115761010951648188591572883345049059822574876380838707282195602791738477848048018228761206332926472503351515364333344940406411255172852874555128341563873835777613962964037222086396386652531444430398779231885586030813167193271501527942870404764840009880080984788782321498155675263608136937363124788765759906915712735974540849091394074167847596795064914078678713777697737750042104626212521546050836051668976788773425077890053510084368406155628131376954582085910107659125294630171109277817003858813244596790121598086627147078113232196256763370270907682700221532377269918049131026711926394560714870748935764997810537199327675991019314550884549280068316753561195842790230121356322364365882800807741047955622514022059980841031917231365420847608515666814475582084496443123170088603470999631288082244866387094866885127321467855155024526331463754111661516094541502221363049241966081596220592655252654436866626828604807335750059531839365739618924936155090651647935981877114847743147527752159993077465335501522164390056977164517695419401221504143780533877941164851592787453837062484645853442655002847374006984246122045790222836528856782074353739780543267824819732130206937429012953991245838348302336612273226732058914833233279568136365227743000790482465779079476752749436512187330594554760330081462907439298565297477969918741093494383154053450738962555746327744906756465619036747118685434878348519849988066635422072995532326289668484103050487323358508370749285735213129897457842449728611803558348839743068717286694881962520642098382683787104508506978196741924752854297322023660632579103084736469427775348990054672364905930430499022467337969399156348889716910210106730152801841404995934773977530634538840919571067107382138203912456611577674813996058028366777400985685096919294989921464400417826673389914946023139755288334072173101364716516755480115361449531813012470242154619375063891898134929040838485935179726533705402051636420347104860452252641866416078653425513671059134711032427562459180405282492178768899333808590806510551796056426861093737677912691002839551927927683012235219012194730588513209279234943242273145392399780953985373211394434096630798309487381074540069878620711116134268194804530793825682678806319143193037196145102122036550805111640825412144871857381673322053174022510714328065827571508718210902493518907879931040091331543646044661589211459196996679885614221027232464377370161169705545810441407897117745955174776729140214803759773918235062979656296927327850341537065436034522178901628494243843896341234477904661608074653453971834855388953184074255821602232679037998216428851134159777440849155371082331454573056733240142130093366084348369090551996733871381223467417855609094747655427632306649786184695556760499122169938511366269024855602931970780918794202771485185341971483834333452517553646598890453506662124134214850298597843703937895668277201017624085456349489645397867597905769747373672407833196606452639596747006915980451206715055965325748515612782099991739611676963661205840305022082103745984463779212438675231569011666443626584849835390244885595243673425976532425389994231339783209405172575511092354256298326132639479071662289648369578275448873381403949661545325775838069900016738136864921170911823137230402149665327980259384193482465114704287756883508364857554305741775218334533070163712821616536256444436777433693757015238187509846696297238864079915499105622862641303560906092486934571273993616215821688614246287157330607294218768684267819907585453774028059001362259180164809231748180764315646311301558765730542412536648483054938155861532037925646926055959208393398227818157296101895954238399879496504716183945612361822912621128982862611876666011782212935499425432529532431399460606858158398251873240320919720758224944071272370259676356657878189606911539483192658934739071465956790666644636981217888365047472166964016864658907200487786707774593036950949535364197282409345727819394930913488930135797334464234748466437477789649072878843590215201252096395326692827029782964996389173690652449007181836800934295024277781698186325731790129877891964203929654693615659322786169351045303123074231846739090577098591167280355948115361922026234055442723590839641300906774796344814449877638851741658387793507694569604683227842391534960371156858961212568424097749241027722100867796258798926308086847649103190377036142284432350099126937552583887464087714772319712274262486722192984277590614662533423095645053356626327006749068076827141159032083297424402854243076699387821945966074914091665008158970161381196959227493744489751173244076566344118360204711073967735084997853830292970517654741297376025828722441303568389316314100731996139169394688348588227402593650445933151090444636265745289556959385402899064092856865947238572720849118897548095376076484881002679316506085549691585719881992565099108819809964023610114587487275695513676699082505173262412607206231062617184203205148272400893566546815082830179401782466727524123956272058617093908399551735848884102350706437531217638507574011680589581397247660085421958156679215279108031282486569392637604658394833962228981352169197904651232045280661134765253586687803150243016269170712867247556542565259917591112662961091171053016899788606361876744586011556294576601629901204820792025370398438769784738632051120032862170268378325855735037513529748686514906620398500651262492154309761308685720333562946877219115083782124048817806262722948227933487570156403924118077243099456679076969319860205539406362399287118179217428643401452027614913188024125781181158532757100830683526017580533589592720870237291430173553261958364047032583960957965725029254382386873820049084633448424466031247963791834254464085732331195511687688794801232184947441849837608145389760989987153365372531585407019986900067285551244625285290372851833289218694534205400800601284923551648524857633429854072441493536845123916454477403812787776168137947610508204585172501429070457830623419779157764819278183925318387290322697335246771649253907933192806141141311394387531597342481744731400039427001870802661535333859589721840632475606900321175375217759475176683342357818685611990324201357646849388812258464144037895414258434142642836847336449208165808846911535889667091943515760699627866611249096877797130506969398844487887916893141921542526113251774827115823893801579884888816510110461666596706579074255371539094039950981830132996116045439732526972239255479594409154306833191317352850192090511570765485556675853223387537458629917980305535279591641497804373609156835435392274349804264029961753478116421976404128610903500332993186684302164057346680284453268421873914982421678274457683938238155745448990617639412478390573879453883583735332916924815168178465596590258478720098548237358910275119481710021247986400671461408235651126877705203196144884619200089694462207243568563814789966338859784835707944054161764016268753826952952301852647774316009022531564603793406362576957856608805463440825814800172192087010753315935986888245572039375934466067009440904427371524725291515608731609700063616812151585005141155185415905711857099212525752990419058511082049821685121785727648463862277105494471476331034326663882584018231436663338021150449367482344241030546431745191055061563838791550892159183763262721328754136672385932242783357753912993286006057665136090036291499521095541287437621883759078208422555617201573168752637853828380601285938552278488197953387630032818884249922503096186528333245624621342319876967861532754480759389311251965617754041654272268899486784012136920631559180553794815880360956965133895920861064936827134881655728683382117193278785080107194952046513971892148232395156039520954427870910834301598955405475268101042874694452483999443624295739189582330027881033653385552562906689948867774079604553508532816943006135091751262554056583040685365592591729719198770126621924731161765646064662915483526856602529439972139055449105230692247272569607329960855506884161817841559587781529244953827192600173297582713045351935876807330407036305516409249645761497602522807803709608813993464530004227662128700939108398339810111066531504778175935568923323038396572713299242359999485921873968344355652917944927865039980712348670374519049464625853198970573863079342386315051385761178190497586947985304992440871812647137080432362558440531754041998333434736578448241000661240992584418979426183612996699934793147429762777932884056175779152284830779763717618104546959506010167390019749555298970957293792417962425715293185197415184844897763526438287928818707645482444084023653568335392432351857556333249917747157665334155372496782810114146038334265031537905026521105411940398740841490668679800578654847533414471181529964668038815359323896977634650672590641459516085973650175695018173815372616127169857592580081912622282919523163501885972556478292795842126345019519771976034920237584785416079971917987791855497098691646038791293751532330756064547118518258842202366168544047661644608999115354994421066706554810154186439537606456493513271164492345585716140879072949328542116113750310427302542015396109183145281024323568721398757194240151148395178058545572033666895597078527787420551855688685473455027073276757520551225462798398284580659647412318411737260830631618945973682950552593771342472588078804352486722424182621875337014988252342938303811318043774203059178832641139072971451217452780290159950056063051599080088494238225724889511718404623439383766899543872011125661233343280255614192724875487507974089423161513125750298090239577257791543875231880471522148501014468592196087274095096566809597808576470744373606624395589447914045091248288710207840445040086485427173591588319223574498240213353991198404773227644326055565566511086919965923646191964396166743759062880960501457861028191035377265097026546666744517002594467358581950284461620371724848012965231971499250551672605977538831590307716611941963387323424714136240808874834174546949418326734648590089810479197119561932981201043920490232250419097290475028074334458363186452108675602479119160107951674954347515823598874921634990083059434252436259039119908753105889926500989295236775066960062795799417080934545578465983708819346609225983368328339595185193049756950619542017628826093630833216854377237333045450129107166526002994091733005875260773345469670749356151749335782331794698422912795806301886728186125627268632469591817658494152140636291339716663990754745147316950974962065949425861556584025138685417996505983047776293326578084659372666264897121712157804333839939423752986769467047778637633727760195326401693904675428173400342009757215829521917337389597531908412101514782565994251241750926027023599850774054610190486874508202434190307784726684491589813891346491066852380147842007717309129703025907783110238274261218379237503342790568111928805551735391602361087966718268289765425109790728905980639591977182435310401248038838595857745773990875765342521380944305812022923577929855387592030962689040837083870423077282679869891482259948442579607510989453125668768909809386976054451677924649589908820899296661635536748141245102871075071418602499223548008870564715208236528904374008173116694653642402319567602653554491495892329822036173327376468249484833335199092269316084356913340686246526095717763242613600249084998808343167333454223241906049038798865094304367360587833947121332664844170967066021224878326519874800912373531578969086552088989335110022428957434380548224353168242919706787569007025586890827099037657246435705447937281761563268995216869854255030117645007214014961619668140188094325904100193854017272231808551300246998876473094424154051671906414435706228286085454781232259134877531580774344616485865323226899111609261079081597257918267216871664762851825520909038359945041913873049653954035443675742302527895497213990949311500392937323492860646080071937466629592765162482462491743292018612064724363438617631115454566350718024792637713301506213973391669402863918727398007182305275783546740178717053258399551661849281106357110200357798326400594834625485701245463697815030771524434832459772051333026816307324964269241684057953475006962741441236181541992660257011157698252528900772944452177429044166382891516685212246201224464369373172614424225863911509671427647210319508102084899186720454859136458067040960351300429602923747506676565675366915067310327495200217060943480453076201347110980357931833102006665462007114017444517266459619897737378040275167925848013889907436859852159935834899593423183978282740941306219570374681873623130983076577145635144269529981989333345932106418205742841354531859844671995457302807073538549231765290142567976051419724384488327472986223859508862239192241948000578511390655215081023315234131409991585218440964611936155902483591287901999503689508899296537416259125529226734989557827226647640337664261479197556727036309255995367451808127883281808121045202250537286572689822414811402043531060856553088478843341537330314334453234896524933410761198055103043522740193109363800513867943213132456700710741758202629947078339063385538371086519892266175566228801736321646313891348165988130297496273504847452633335602251671683176061069960869545950336095656201508444021017311986294944009272172852746006841277220402353036094980257800231265414365366587554769083767266419674100208011997963371552622421569453996164534927544980821366060366275246111826415046787329085498721670355580878030355613390938753641596854579515305129229913095789355070693911317898412040545149856473144769042043453396329810566613559365200770281754751064666841019403920890268527237678865913397798481858504253103751470769281766698916661939701586936265223215013195377471117518666014930345979441132640634298259880948912035351789507280172912735814619306021029062234903720888415841222536131254071943707681769579991621231559542898936790882152232909450574621258021899661581999988559819797503648118665943607779404904958037166991118023764881200582486017221263829347148278654453209912809650271985861998495701880934324098324216549800471635664337374080458250226366335097764382008928354588560952043425170830201639985869891690479936340553147977956106049145246009234410462403846260833050476539770621723223203807994352398273673976052451513445994885813854013504353368249967414657467964142004245528971227882760717603382631183803444471474437288955920886147461961623629550516227184031750679037665066557756472961558103989218816725606725222676521201341687903328116973188313763815522166234096272734525893747849507781928237804447475776486097867523632869943628152317728215597127907139256684549083169215378267922084085062993653876065396007020205762780650626968823317107714552728064583628726663759853711962880462751265769461659949679172111371924416473413888838676733433535210527804247695134229333837283540848754821992502621956675195894719188453394149441927528961399386146064812093968466021983242904888981486991306934245439689615526444774824430225584539886679007765161785736545361819329793547007174424753988069776878540318373769335568599448880040366522963127618748772178884168768072881067849303816668541103251831764848898903952293809697313876300352318375215737396604133011695318381545322586833221594317104389090165772008640749923105984704391209597084922188463411214684965130787157037799349216355110735580341514151480359984211344802827664352531836071195912264741649433994237915169019219899311870603020308228512205560610216793184657986749435264813059265290017798219635319992721152353073690422294025349334173353837832984731493681596821404422883515935783447156113970537718894893262963579016661789411867120118689230143059395017134328344722066688226643863034702324470739785446370014679232292775805015600528484918126474249929818673757719705987447487905646006389036406573490399319943997566869302656401289427748216554965299910534041915369516490990388006312384788612421648717060721163282623382032178862794310850119176322014921491689527515217322973963195893445840377874823399543148883662160166861032579407090150759499514352891387825933130668644411666492937451361652288656130399100592421086718785296753254976921929083243575715601554571775873857144828184167024042612657042672886491311941741777844929490378235805803133166399678278989474660741823645977859415184039380372808826435857797009582654549597779681144626324442489728641596670864540637781968682535361480896987198640376476992135868817840367051464617143241368108537575431231712680147196783702147168671553298139867300554261034665161657256793973162753883069501779169062388986184318721820075300801693699754659962867097053494485309262694369504932478813337298356126542560491897109938316286385843429889373792360783706476215765596877711752254895221612582261973246157565041087142087604644751546255517032169744579878965614606716951559651871977008979983570804797904893747365336703015662421022082915119582798122828448333326494164054701636844447775081884470607945946535312169794594110864509676092433762527933647987038585233371750647082219472420524271846595779920307673468828858673348630132628024720014507740112149711660365204812967407567376741104701856087580728351950256204309246925348565263165625983517928360850797117711452304168618483310463457121160255384753922971927218324280115554218248672115856719181106982919046588167774788388643317333110144197812712924792308531984142295333426373997098743911211842367281356008633812287405648722812604453932512304069877891743061266491066443218803899781446686084699098930399589356615576097724071952298214457335800830558583787714088467012227836942974551095695246602888058422611886986681349254698236784867176825027045511018172666018516985156232690679629971158835095305479812231479811743771935859186100096085082381671426519854753650127333507258166608475228857832390757243375508848238927566855096466896809585083674250382729098759601991955855460076331317799387615141623488443661255251662411602740876281202675857157245570270904859686213254508973511541798103424198239775440949490948901217681336922728750762205086516325236221375936399688906489283876469313591465310104252490874502023694130026805790454881785811906373475863296148038247634515578836650300767853952751498213701531437848323431403339133566679177078615495822611317538285733681307907581006914635904310310800443614381119053386990888636312123823026794194947203073644494173019618222747028109760596568904321559355233267338813435636727317085236189522972955719929968882086837994829695490603246754906573381759197165931931537534726318143850874950689222114086631418688111102844667897179153040892899999999988360317`110000.42901739413;

Properties

Element[Khinchin,#]&/@{Khinchin,Rationals}

Notation

v5.2

TraditionalForm[Khinchin]

v6

TraditionalForm[Khinchin]

Private Typesetting

<<Utilities`Typesetting`

TraditionalForm[Khinchin]

Plots

<<Graphics`MultipleListPlot`

c=FromDigits[{Flatten[IntegerDigits/@Table[Prime[n],{n,1000}]],0}];

MultipleListPlot[KhinchinList[#,500]&/@{Pi,Sin[1],EulerGamma,c},
	PlotJoined->True,
PlotStyle->{Red,Green,Blue,Yellow},
SymbolShape->None,
	Axes->False,Frame->True,
FrameLabel->TraditionalForm/@{n,((Subscript[a, 1])(Subscript[⋯a, n]))^(1/n)},
	Epilog->{GrayLevel[0],
Line[{{-10,Khinchin},{1000,Khinchin}}]}
]//Timing

With[{n=500},
MultipleListPlot[
	Khintchine[E,n],
	Khintchine[Sqrt[2],n],
	Khintchine[Sqrt[3],n],
	Khintchine[GoldenRatio,n],
	PlotStyle->Dashing[{1,0}],
	PlotJoined->True,Frame->True,Axes->False,
SymbolShape->None,Epilog->{RGBColor[1,0,0],
	Line[{{-10,K},{n+10,K}}]}]
]

Values for Common Constants

KhinchinK[x_,n_]:=(Times@@Rest[ContinuedFraction[x,n+1]])^(1/n)
KhinchinList[x_,n_:200]:=MapIndexed[#1^(1/#2[[1]])&,Rest@FoldList[Times,1,Rest[ContinuedFraction[x,n+1]]]]

C

ContinuedFraction[Catalan,10]

HighWaterMarks[ContinuedFraction[Catalan,10^5]]

N[KhinchinK[Catalan,10^4],20]//Timing

N[KhinchinK[Catalan,10^5],20]//Timing

N[KhinchinK[Catalan,10^6],20]//Timing

N[KhinchinK[Catalan,10^7],20]//Timing

K

N[khinchin,10]

N[KhinchinK[Khinchin,10^3],20]

N[KhinchinK[khinchin,10^4],20]

N[KhinchinK[khinchin,10^5],20]//Timing

ContinuedFraction[khinchin,20]

HighWaterMarks[ContinuedFraction[khinchin]]

e

ContinuedFraction[E,20]

HighWaterMarks[ContinuedFraction[E,10^2]]

N[KhinchinK[E,200],20]

N[KhinchinK[E,10^3],20]

Block[{$MaxExtraPrecision=Infinity},
N[KhinchinK[E,10^3],20]
]

sin(1)

ContinuedFraction[Sin[1],20]

HighWaterMarks[ContinuedFraction[Sin[1],10^5]]

N[KhinchinK[Sin[1],10^4],20]//Timing

N[KhinchinK[Sin[1],10^5],20]//Timing

N[KhinchinK[Sin[1],10^6],20]//Timing

N[KhinchinK[Sin[1],10^7],20]//Timing

π

ContinuedFraction[Pi,20]

HighWaterMarks[ContinuedFraction[Pi,10^5]]

Lehmer (1959) gave 2.6831468 for the 100th term of π

N[KhinchinK[Pi,100],20]

N[KhinchinK[Pi,10^4],20]//Timing

N[KhinchinK[Pi,10^5],20]//Timing

N[KhinchinK[Pi,10^6],20]//Timing

N[KhinchinK[Pi,10^7],20]//Timing

Sums

exp((1/(ln(2)))(∑_m^∞)(((ζ(2 m)-1) (ln(4)-(ψ^((0)))(m)+(ψ^((0)))(m+(1/2))))/(2 m)))

By Hand

FullSimplify[Sum[((((-1))^(j-1))/j),{j,2m-1}]]

Plot[Re[(1/2) (Log[4]-PolyGamma[0,m]+PolyGamma[0,(1/2)+m])/m (Zeta[2m]-1)],{m,1,10},PlotStyle->RGBColor[1,0,0]]

Exp[NSum[(1/2) (Log[4]-PolyGamma[0,m]+PolyGamma[0,(1/2)+m])(Zeta[2m]-1)/m,{m,∞},NSumTerms->50,NSumExtraTerms->50,WorkingPrecision->30]/Log[2.]]

V7

Exp[(1/(Log[2]))Sum[(1/2) (Log[4]-PolyGamma[0,m]+PolyGamma[0,(1/2)+m])/m (Zeta[2m]-1),{m,∞}]]//Timing

Exp[(1/(Log[2]))Sum[(1/2) (Log[4]-PolyGamma[0,m]+PolyGamma[0,(1/2)+m])/m (Zeta[2m]-1),{m,20}]]//N

Khinchin//N

V11.3

$Version

Exp[(1/(Log[2]))Sum[(1/2) (Log[4]-PolyGamma[0,m]+PolyGamma[0,(1/2)+m])/m (Zeta[2m]-1),{m,∞}]]

exp((((∑_(j=2)^∞)(((((-1))^j) (2-(2^j)) ζ'(j))/j))/(ln(2))))

V4.2

NSum[(((((-1))^(j ))(2-(2^j))Zeta'[j])/j),{j,2,∞}]//Timing

Exp[NSum[(((((-1))^(j ))(2-(2^j))Zeta'[j])/j),{j,2,∞},Method->Fit]/Log[2]]//Timing

Exp[NSum[((-1)^j*(2 - 2^j)*Derivative[1][Zeta][j])/j, {j, 2, Infinity}, Method -> Fit]/Log[2]]//Timing

Exp[NSum[((-1)^j*(2-2^j)*Derivative[1][Zeta][j])/j,{j,2,Infinity},Method->Fit,VerifyConvergence->False]/Log[2]]//Timing

Exp[NSum[(((((-1))^(j ))(2-(2^j))Zeta'[j])/j),{j,2,∞},Method->Fit,WorkingPrecision->20]/Log[2]]//Timing

Exp[NSum[(((((-1))^(j ))(2-(2^j))Zeta'[j])/j),{j,2,∞},Method->Fit,WorkingPrecision->50]/Log[2]]//Timing

V5.0

Plot[Re[(((((-1))^(j ))(2-(2^j))Zeta'[j])/j)],{j,1,20},PlotStyle->Red]//Timing

V5.1

Plot[Re[(((((-1))^(j ))(2-(2^j))Zeta'[j])/j)],{j,1,20},PlotStyle->Red]//Timing

V6

Exp[NSum[(((((-1))^(j ))(2-(2^j))Zeta'[j])/j),{j,2,∞}]/Log[2]]//Timing

Exp[NSum[(((((-1))^(j ))(2-(2^j))Zeta'[j])/j),{j,2,∞},VerifyConvergence->False]/Log[2]]//Timing

Exp[NSum[(((((-1))^(j ))(2-(2^j))Zeta'[j])/j),{j,2,∞},Method->Fit,VerifyConvergence->False]/Log[2]]//Timing

V7

TimeConstrained[Sum[(((((-1))^(j ))(2-(2^j))Zeta'[j])/j),{j,2,∞}],60]//Timing

Sum[(((((-1))^(j ))(2-(2^j))Zeta'[j])/j),{j,2,3000}]//N

Exp[Sum[(((((-1))^(j ))(2-(2^j))Zeta'[j])/j),{j,2,1000}]/Log[2]]//N

Khinchin//N

V11.3

$Version

Exp[(1/(Log[2]))Sum[(((((-1))^(j ))(2-(2^j))Zeta'[j])/j),{j,2,∞}]]//FullSimplify

Sum[(((((-1))^(j ))(2-(2^j))Zeta'[j])/j),{j,2,∞}]

wrong: bug(342614)

N[%]

Solve[Exp[s/Log[2]]==k,s]

Log[2]Log[Khinchin]//N

Log[(Khinchin^(Log[2]))]//N

FullSimplify[Log[(Khinchin^(Log[2]))]]

%//N

exp((1/(ln(2)))((∑_(k=0)^∞)-(((((-1))^k) (2-(2^(k+2))) (((ln(k+1))/(((k+1))^(k+2)))-Derivative[1,0][ζ](k+2,k+2)))/(k+2))+ln(k+1) (-2 (((-1))^k) (((k+1))^(-k-3)) Γ(k+3) ((2^(k+2)) (Subscript[, 2])(Subscript[(OverTilde[F]), 1])(1,k+3;k+4;-(2/(k+1)))-(Subscript[, 2])(Subscript[(OverTilde[F]), 1])(1,k+3;k+4;-(1/(k+1))))+ln(((k+3)/(k+1)))-2 ln((1/(k+1))+1))-ln(k+1) (ln(k+1)-2 ln(k+2)+ln(k+3))))

Gosper

V5

sum=Sum[(-1)^s(2-2^s)/(k+1)^s/ s,{s,k+2}]

FullSimplify[sum,k∈Integers]

sum2=-2 (((-1))^k) (((1+k))^(-3-k)) Gamma[3+k] ((2^(2+k)) Hypergeometric2F1Regularized[1,3+k,4+k,-(2/(1+k))]-Hypergeometric2F1Regularized[1,3+k,4+k,-(1/(1+k))])+Log[((3+k)/(1+k))]-2 Log[1+(1/(1+k))]

N[Re[-Log[k+1](Log[k+3]-2Log[k+2]+Log[k+1])-(-1)^k(2-2^(k+2))/(k+2)(Log[k+1]/(k+1)^(k+2)-Derivative[1,0][Zeta][k+2,k+2])+Log[k+1]sum2]/.k->30,20]//Timing

Plot[Re[-Log[k+1](Log[k+3]-2Log[k+2]+Log[k+1])-(-1)^k(2-2^(k+2))/(k+2)(Log[k+1]/(k+1)^(k+2)-Derivative[1,0][Zeta][k+2,k+2])+Log[k+1]sum2],{k,0,5},PlotRange->All]

Exp[NSum[Evaluate[-Log[k+1](Log[k+3]-2Log[k+2]+Log[k+1])-(-1)^k(2-2^(k+2))/(k+2)(Log[k+1]/(k+1)^(k+2)-Derivative[1,0][Zeta][k+2,k+2])+Log[k+1]sum2],{k,0,Infinity},
Method->Fit]/Log[2]]//Timing

Exp[NSum[Evaluate[-Log[k+1](Log[k+3]-2Log[k+2]+Log[k+1])-(-1)^k(2-2^(k+2))/(k+2)(Log[k+1]/(k+1)^(k+2)-Derivative[1,0][Zeta][k+2,k+2])+Log[k+1]sum2],{k,0,20},
Method->Fit,WorkingPrecision->20]/Log[2]]//Timing

N[Khinchin,20]

V7

Exp[Sum[-Log[k+1](Log[k+3]-2Log[k+2]+Log[k+1])-(-1)^k(2-2^(k+2))/(k+2)(Log[k+1]/(k+1)^(k+2)-Derivative[1,0][Zeta][k+2,k+2])+Log[k+1](-2 (((-1))^k) (((1+k))^(-3-k)) Gamma[3+k] ((2^(2+k)) Hypergeometric2F1Regularized[1,3+k,4+k,-(2/(1+k))]-Hypergeometric2F1Regularized[1,3+k,4+k,-(1/(1+k))])+Log[((3+k)/(1+k))]-2 Log[1+(1/(1+k))]),{k,0,∞}]/Log[2]]

Exp[Sum[-Log[k+1](Log[k+3]-2Log[k+2]+Log[k+1])-(-1)^k(2-2^(k+2))/(k+2)(Log[k+1]/(k+1)^(k+2)-Derivative[1,0][Zeta][k+2,k+2])+Log[k+1](-2 (((-1))^k) (((1+k))^(-3-k)) Gamma[3+k] ((2^(2+k)) Hypergeometric2F1Regularized[1,3+k,4+k,-(2/(1+k))]-Hypergeometric2F1Regularized[1,3+k,4+k,-(1/(1+k))])+Log[((3+k)/(1+k))]-2 Log[1+(1/(1+k))]),{k,0,20}]/Log[2]]//N

Khinchin//N

V11.3

$Version

Exp[Sum[-Log[k+1](Log[k+3]-2Log[k+2]+Log[k+1])-(-1)^k(2-2^(k+2))/(k+2)(Log[k+1]/(k+1)^(k+2)-Derivative[1,0][Zeta][k+2,k+2])+Log[k+1](-2 (((-1))^k) (((1+k))^(-3-k)) Gamma[3+k] ((2^(2+k)) Hypergeometric2F1Regularized[1,3+k,4+k,-(2/(1+k))]-Hypergeometric2F1Regularized[1,3+k,4+k,-(1/(1+k))])+Log[((3+k)/(1+k))]-2 Log[1+(1/(1+k))]),{k,0,∞}]/Log[2]]

exp((1/(ln(2)))(∑_(k=2)^∞)2 (((-1))^k) (((ln(k) ((2^(k+1)) (Subscript[, 2])(Subscript[F, 1])(1,k+2;k+3;-(2/k))-(Subscript[, 2])(Subscript[F, 1])(1,k+2;k+3;-(1/k))))/((k+2) (k^(k+2))))+((((2^k)-1) Derivative[1,0][ζ](k+1,k))/(k+1)))-Derivative[1,0][ζ](2,2))

Massaged by Pavlyk:

V6

Exp[(1/(Log[2]))(-Derivative[1,0][Zeta][2,2]+Sum[2 (((-1))^k)(((Log[k] )/((k+2) (k^(k+2))))( (2^(1+k)) Hypergeometric2F1[1,k+2,k+3,-(2/k)]-Hypergeometric2F1[1,k+2,k+3,-(1/k)])+(( ((2^k)-1) )/(k+1))Derivative[1,0][Zeta][1+k,k]),{k,2,Infinity}])]

sum[n_]:=Exp[(1/(Log[2]))(-Derivative[1,0][Zeta][2,2]+Sum[2 (((-1))^k)(((Log[k] )/((k+2) (k^(k+2))))( (2^(1+k)) Hypergeometric2F1[1,k+2,k+3,-(2/k)]-Hypergeometric2F1[1,k+2,k+3,-(1/k)])+(( ((2^k)-1) )/(k+1))Derivative[1,0][Zeta][1+k,k]),{k,2,n}])]

sum[20]-N[Khinchin,100]//Timing

sum[50]-N[Khinchin,100]//Timing

sum[100]-N[Khinchin,200]//Timing

V7

Exp[(1/(Log[2]))(-Derivative[1, 0][Zeta][2, 2]+Sum[2 (((-1))^k)(((Log[k] )/((k+2) (k^(k+2))))( (2^(1+k)) Hypergeometric2F1[1,k+2,k+3,-(2/k)]-Hypergeometric2F1[1,k+2,k+3,-(1/k)])+(( ((2^k)-1) )/(k+1))Derivative[1, 0][Zeta][1 + k, k]),{k,2,Infinity}])]//InputForm

Exp[(1/(Log[2]))(-Derivative[1, 0][Zeta][2, 2]+Sum[2 (((-1))^k)(((Log[k] )/((k+2) (k^(k+2))))( (2^(1+k)) Hypergeometric2F1[1,k+2,k+3,-(2/k)]-Hypergeometric2F1[1,k+2,k+3,-(1/k)])+(( ((2^k)-1) )/(k+1))Derivative[1, 0][Zeta][1 + k, k]),{k,2,20}])]//N

Khinchin//N

V11.3

$Version

Exp[(1/(Log[2]))(-Derivative[1, 0][Zeta][2, 2]+Sum[2 (((-1))^k)(((Log[k] )/((k+2) (k^(k+2))))( (2^(1+k)) Hypergeometric2F1[1,k+2,k+3,-(2/k)]-Hypergeometric2F1[1,k+2,k+3,-(1/k)])+(( ((2^k)-1) )/(k+1))Derivative[1, 0][Zeta][1 + k, k]),{k,2,Infinity}])]

exp((((∑_k^∞)log(k!) (DifferenceDelta3[log(k), k, 3]))/(log(2))))

From B. Gosper, Nov 14 2017

bug(342615): Product[(k!)^DifferenceDelta[Log[k], {k, 3}], {k, Infinity}] could return Khinchin^Log[2] and Sum[DifferenceDelta[Log[k], {k, 3}] Log[k!], {k, Infinity}] could return Log[2] Log[Khinchin]

Sum[(-Log[k]+3 Log[1+k]-3 Log[2+k]+Log[3+k])Log[k!],{k,10^4}]//N

Log[2.]Log[Khinchin]

V11.3

$Version

Sum[DifferenceDelta[Log[k],{k,3}]Log[k!],{k,∞}]//Head

Exp[((Sum[DifferenceDelta[Log[k],{k,3}]Log[k!],{k,∞}])/(Log[2]))]

N[%]

Exp[((Sum[(-Log[k]+3 Log[1+k]-3 Log[2+k]+Log[3+k])Log[k!],{k,10^4}])/(Log[2]))]//N

Khinchin//N

Solve[Exp[s/Log[2]]==k,s]

Products

(∏_(n=1)^∞)(((1+(1/(n (n+2)))))^(ln n/ln 2))

Numerical

NProduct[(((1+(1/(n(n+2)))))^(Log[n]/Log[2])),{n,∞},WorkingPrecision->20]

NProduct[(((1+(1/(n(n+2)))))^(Log[n]/Log[2])),{n,∞},WorkingPrecision->20]

V5.1

Product[(((1+(1/(n(n+2)))))^(Log[n]/Log[2])),{n,∞}]

Product[(((1+(1/(n(n+2)))))^(Log[2,n])),{n,∞}]

V5.2

Product[(((1+(1/(n(n+2)))))^(Log[n]/Log[2])),{n,∞}]

Product[(((1+(1/(n(n+2)))))^(Log[2,n])),{n,∞}]

V6

Product[(((1+(1/(n(n+2)))))^(Log[n]/Log[2])),{n,∞}]

Product[(((1+(1/(n(n+2)))))^(Log[2,n])),{n,∞}]

V7

Product[(((1+(1/(n(n+2)))))^(Log[2,n])),{n,∞}]

V11.3

Product[(((1+(1/(n(n+2)))))^(Log2[n])),{n,∞}]

Product[(((1+(1/(n(n+2)))))^(Log[2,n])),{n,∞}]

(∏_(k==1)^∞)(((k!))^(DifferenceDelta3[log(k), k, 3]))==(K^(log(2)))

From B. Gosper, Nov 14 2017

bug(342615): Product[(k!)^DifferenceDelta[Log[k], {k, 3}], {k, Infinity}] could return Khinchin^Log[2] and Sum[DifferenceDelta[Log[k], {k, 3}] Log[k!], {k, Infinity}] could return Log[2] Log[Khinchin]

V11.3

$Version

Product[(((k!))^(DifferenceDelta[Log[k],{k,3}])),{k,∞}]==(Khinchin^(Log[2]))

DifferenceDelta[Log[k],{k,3}]

Product[(((k!))^(DifferenceDelta[Log[k],{k,3}])),{k,∞}]//Head

Table[(((k!))^(DifferenceDelta[Log[k],{k,3}])),{k,2}]

DifferenceDelta[Log[k],{k,3}]

Table[(((k!))^(-Log[k]+3 Log[1+k]-3 Log[2+k]+Log[3+k])),{k,2}]

Product[(((k!))^(N[-Log[k]+3 Log[1+k]-3 Log[2+k]+Log[3+k]])),{k,10^4}]//Timing

(Khinchin^(Log[2.]))

Integrals

exp((1/(ln(2)))(∫_0^π)((ln(θ |cot θ|))/θ)dθ+((ln(2))/2)+((π^2)/(12 ln(2))))

Numerical

Exp[((π^2)/(12Log[2]))+Log[2]/2+(1/(Log[2]))NIntegrate[((Log[θ Abs[Cot[θ]]])/θ),{θ,0,π/2,π},WorkingPrecision->20]]

V5.2

Exp[((π^2)/(12Log[2]))+Log[2]/2+(1/(Log[2]))Integrate[((Log[θ Abs[Cot[θ]]])/θ),{θ,0,π/2,π}]]//Timing

V6

Exp[((π^2)/(12Log[2]))+Log[2]/2+(1/(Log[2]))Integrate[((Log[θ Abs[Cot[θ]]])/θ),{θ,0,π/2,π}]]//Timing

V11.3

$Version

Exp[((π^2)/(12Log[2]))+Log[2]/2+(1/(Log[2]))Integrate[((Log[θ Abs[Cot[θ]]])/θ),{θ,0,π/2,π}]]//Timing

2 exp((1/(ln(2)))(∫_0^1)((ln(((π x (1-(x^2)))/(sin(π x)))))/(x (x+1)))dx)

Numerical

2Exp[NIntegrate[Log[Pi x(1-x^2)/Sin[Pi x]]/x/(x+1),{x,0,1},WorkingPrecision->20]/Log[2]]

V5.2

2Exp[Integrate[Log[Pi x(1-x^2)/Sin[Pi x]]/x/(x+1),{x,0,1}]/Log[2]]//Timing

V6

2Exp[Integrate[Log[Pi x(1-x^2)/Sin[Pi x]]/x/(x+1),{x,0,1}]/Log[2]]//Timing

V11.3

$Version

2Exp[Integrate[Log[Pi x(1-x^2)/Sin[Pi x]]/x/(x+1),{x,0,1}]/Log[2]]//Timing

2 exp((1/(ln(2)))(∫_0^1)((ln(Γ(x+2) Γ(2-x)))/(x (x+1)))dx)

Numerical

2Exp[NIntegrate[Log[Gamma[x+2]Gamma[2-x]]/x/(x+1),{x,0,1},WorkingPrecision->20]/Log[2]]

V5.2

2Exp[Integrate[Log[Gamma[x+2]Gamma[2-x]]/x/(x+1),{x,0,1}]/Log[2]]//Timing

V6

2Exp[Integrate[Log[Gamma[x+2]Gamma[2-x]]/x/(x+1),{x,0,1}]/Log[2]]//Timing

V11.3

$Version

2Exp[Integrate[Log[Gamma[x+2]Gamma[2-x]]/x/(x+1),{x,0,1}]/Log[2]]//Timing

exp((∫_0^1)((log((Floor[(1/x)])))/((x+1) log(2)))dx)

Plot[Floor[1/x],{x,0,1},Exclusions->None,PlotRange->{0,30}]

Plot[1/x-Floor[1/x],{x,0,1}]

Plot[((Log[Floor[1/x]])/(Log[2](1+x))),{x,0,1},Exclusions->None]

NIntegrate[((Log[Floor[1/x]])/(Log[2](1+x))),{x,0,1},MaxRecursion->20,WorkingPrecision->100]

Exp[%]

N[Khinchin,100]

V11.3

$Version

Integrate[((Log[Floor[1/x]])/(Log[2](1+x))),{x,0,1}]//Timing

BBP-Type

(None known?)

Search

<<Utilities`Simplify`

Monitor[Do[If[(b=FindBasis[Khinchin,-6^k,n,BasisPower->p,WorkingPrecision->300])=!={},Print[b]],{k,16},{n,64},{p,1}],{-6^k,n,p}];//Timing

Monitor[Do[If[(b=FindBasis[Khinchin,-5^k,n,BasisPower->p,WorkingPrecision->300])=!={},Print[b]],{k,16},{n,64},{p,1}],{-5^k,n,p}];//Timing

Monitor[Do[If[(b=FindBasis[Khinchin,-3^k,n,BasisPower->p,WorkingPrecision->300])=!={},Print[b]],{k,16},{n,64},{p,1}],{-3^k,n,p}];//Timing

Monitor[Do[If[(b=FindBasis[Khinchin,-3^k,n,BasisPower->p,WorkingPrecision->300])=!={},Print[b]],{k,16},{n,64},{p,2,2}],{-3^k,n,p}];//Timing

Monitor[Do[If[(b=FindBasis[Khinchin,-3^k,n,BasisPower->p,WorkingPrecision->300])=!={},Print[b]],{k,16},{n,64},{p,3,3}],{-3^k,n,p}];//Timing

Monitor[Do[If[(b=FindBasis[Khinchin,-2^k,n,BasisPower->p,WorkingPrecision->300])=!={},Print[b]],{k,16},{n,64},{p,1}],{-2^k,n,p}];//Timing

Monitor[Do[If[(b=FindBasis[Khinchin,-2^k,n,BasisPower->p,WorkingPrecision->300])=!={},Print[b]],{k,16},{n,64},{p,2,2}],{-2^k,n,p}];//Timing

Monitor[Do[If[(b=FindBasis[Khinchin,-2^k,n,BasisPower->p,WorkingPrecision->300])=!={},Print[b]],{k,16},{n,64},{p,3,3}],{-2^k,n,p}];//Timing

Monitor[Do[If[(b=FindBasis[Khinchin,-1,n,BasisPower->p,WorkingPrecision->300])=!={},Print[b]],{k,0,0},{n,64},{p,1}],{-1,n,p}];//Timing

Monitor[Do[If[(b=FindBasis[Khinchin,-1,n,BasisPower->p,WorkingPrecision->300])=!={},Print[b]],{k,0,0},{n,64},{p,2,2}],{-1,n,p}];//Timing

Monitor[Do[If[(b=FindBasis[Khinchin,-1,n,BasisPower->p,WorkingPrecision->300])=!={},Print[b]],{k,0,0},{n,64},{p,3,3}],{-1,n,p}];//Timing

Monitor[Do[If[(b=FindBasis[Khinchin,1,n,BasisPower->p,WorkingPrecision->300])=!={},Print[b]],{k,0,0},{n,64},{p,2,2}],{1,n,p}];//Timing

Monitor[Do[If[(b=FindBasis[Khinchin,1,n,BasisPower->p,WorkingPrecision->300])=!={},Print[b]],{k,0,0},{n,64},{p,3,3}],{1,n,p}];//Timing

Monitor[Do[If[(b=FindBasis[Khinchin,2^k,n,BasisPower->p,WorkingPrecision->300])=!={},Print[b]],{k,16},{n,64},{p,1}],{2^k,n,p}];//Timing

Monitor[Do[If[(b=FindBasis[Khinchin,2^k,n,BasisPower->p,WorkingPrecision->300])=!={},Print[b]],{k,16},{n,64},{p,2,2}],{2^k,n,p}];//Timing

Monitor[Do[If[(b=FindBasis[Khinchin,2^k,n,BasisPower->p,WorkingPrecision->300])=!={},Print[b]],{k,16},{n,64},{p,3,3}],{2^k,n,p}];//Timing

Monitor[Do[If[(b=FindBasis[Khinchin,3^k,n,BasisPower->p,WorkingPrecision->300])=!={},Print[b]],{k,16},{n,64},{p,1}],{3^k,n,p}];//Timing

Monitor[Do[If[(b=FindBasis[Khinchin,3^k,n,BasisPower->p,WorkingPrecision->300])=!={},Print[b]],{k,16},{n,64},{p,2,2}],{3^k,n,p}];//Timing

Monitor[Do[If[(b=FindBasis[Khinchin,3^k,n,BasisPower->p,WorkingPrecision->300])=!={},Print[b]],{k,16},{n,64},{p,3,3}],{3^k,n,p}];//Timing