Beam Detector

Author

Eric W. Weisstein
April 16, 2004

This notebook downloaded from http://mathworld.wolfram.com/notebooks/Constants/BeamDetector.nb.

For more information, see Eric's MathWorld entry http://mathworld.wolfram.com/BeamDetector.html.

©2005 Wolfram Research, Inc. except for portions noted otherwise

2-Arc

eqn=FullSimplify[{2cos[(Subscript[θ, 1])]-sin[(Subscript[θ, 2])/2]==0,
tan[(Subscript[θ, 1])/2]cos[(Subscript[θ, 2])/2]+sin[(Subscript[θ, 2])/2](sec[(Subscript[θ, 2])/2]^2+1)==2,
sin[(Subscript[θ, 1])]^2+cos[(Subscript[θ, 1])]^2==1,
sin[(Subscript[θ, 2])]^2+cos[(Subscript[θ, 2])]^2==1
}/.{
tan[x_]:>sin[x]/cos[x],
sec[x_]:>1/cos[x]
}/.{
sin[(Subscript[θ, 1])]:>2cos[(Subscript[θ, 1])/2]sin[(Subscript[θ, 1])/2],
sin[(Subscript[θ, 2])]:>2cos[(Subscript[θ, 2])/2]sin[(Subscript[θ, 2])/2],
cos[(Subscript[θ, 1])]:>cos[(Subscript[θ, 1])/2]^2-sin[(Subscript[θ, 1])/2]^2,
cos[(Subscript[θ, 2])]:>cos[(Subscript[θ, 2])/2]^2-sin[(Subscript[θ, 2])/2]^2
}]

ssoln=RootReduce[Select[
({sin[(Subscript[θ, 1])/2],sin[(Subscript[θ, 2])/2]}/.Solve[
eqn,
{sin[(Subscript[θ, 1])/2],sin[(Subscript[θ, 2])/2]},
{cos[(Subscript[θ, 1])/2],cos[(Subscript[θ, 2])/2]}
]),And@@(Positive/@#)&
]]

soln=2Map[ArcSin,ssoln,{1}]

N[%]

fsoln=Thread[{(Subscript[θ, 1]),(Subscript[θ, 2])}->soln[[1]]]

First[ssoln/.Root[r_,n_,i__]:>r[x]]//TraditionalForm

soln=FindRoot[{2Cos[(Subscript[θ, 1])]-Sin[(Subscript[θ, 2])/2]==0,
Tan[(Subscript[θ, 1])/2]Cos[(Subscript[θ, 2])/2]+Sin[(Subscript[θ, 2])/2](Sec[(Subscript[θ, 2])/2]^2+1)==2},
{(Subscript[θ, 1]),0,2},{(Subscript[θ, 2]),0,1},WorkingPrecision->20]

l2=FullSimplify[2π-2(Subscript[θ, 1])-(Subscript[θ, 2])+2Tan[(Subscript[θ, 1])/2]+Sec[(Subscript[θ, 2])/2]-Cos[(Subscript[θ, 2])/2]+Tan[(Subscript[θ, 1])/2]Sin[(Subscript[θ, 2])/2]/.fsoln
]

N[%,20]