Barban's Constant

Author

Eric W. Weisstein
December 9, 2014

This notebook downloaded from http://mathworld.wolfram.com/notebooks/Constants/BarbansConstant.nb.

For more information, see Eric's MathWorld entry http://mathworld.wolfram.com/BarbansConstant.html.

©2014 Wolfram Research, Inc. except for portions noted otherwise

Value

Times@@(1`20+((3((#)^2)-1)/(#(#+1)(((#)^2)-1)))&[Prime[Range[(10^6)]]])//Timing

Times@@(1`20+((3((#)^2)-1)/(#(#+1)(((#)^2)-1)))&[Prime[Range[(10^7)]]])//Timing

Product[1+((3((Prime[n])^2)-1)/(Prime[n](Prime[n]+1)(((Prime[n])^2)-1))),{n,∞}]

NProduct[1+((3((Prime[n])^2)-1)/(Prime[n](Prime[n]+1)(((Prime[n])^2)-1))),{n,∞}]

Times Another way

prod=N[1,25];
(Monitor[Do[prod*=With[{p=Prime[k]},1+((3(p^2)-1)/(p(p+1)((p^2)-1)))],{k,10^6}],{k,prod}];prod)//Timing

Series

Series[Log[1+((3(p^2)-1)/(p(p+1)((p^2)-1)))],{p,∞,10}]

SeriesCoefficient[Log[1+((3(p^2)-1)/(p(p+1)((p^2)-1)))],{p,∞,n}]

c[n_]:=-(1/n)(-1-2 (((-1))^n)+(((Root[-1-#1+2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)&,1])^n) (-1+4 Root[-1-#1+2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)&,1]+3 ((Root[-1-#1+2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)&,1])^2)+4 ((Root[-1-#1+2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)&,1])^3)))/((Root[-1-#1+2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)&,1]-Root[-1-#1+2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)&,2]) (Root[-1-#1+2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)&,1]-Root[-1-#1+2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)&,3]) (Root[-1-#1+2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)&,1]-Root[-1-#1+2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)&,4]))+(((Root[-1-#1+2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)&,2])^n) (-1+4 Root[-1-#1+2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)&,2]+3 ((Root[-1-#1+2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)&,2])^2)+4 ((Root[-1-#1+2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)&,2])^3)))/((-Root[-1-#1+2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)&,1]+Root[-1-#1+2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)&,2]) (Root[-1-#1+2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)&,2]-Root[-1-#1+2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)&,3]) (Root[-1-#1+2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)&,2]-Root[-1-#1+2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)&,4]))+(((Root[-1-#1+2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)&,3])^n) (-1+4 Root[-1-#1+2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)&,3]+3 ((Root[-1-#1+2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)&,3])^2)+4 ((Root[-1-#1+2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)&,3])^3)))/((-Root[-1-#1+2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)&,1]+Root[-1-#1+2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)&,3]) (-Root[-1-#1+2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)&,2]+Root[-1-#1+2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)&,3]) (Root[-1-#1+2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)&,3]-Root[-1-#1+2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)&,4]))+(((Root[-1-#1+2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)&,4])^n) (-1+4 Root[-1-#1+2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)&,4]+3 ((Root[-1-#1+2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)&,4])^2)+4 ((Root[-1-#1+2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)&,4])^3)))/((-Root[-1-#1+2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)&,1]+Root[-1-#1+2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)&,4]) (-Root[-1-#1+2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)&,2]+Root[-1-#1+2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)&,4]) (-Root[-1-#1+2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)&,3]+Root[-1-#1+2 ((#1)^2)+((#1)^3)+((#1)^4)&,4])))

Table[c[n],{n,15}]//FullSimplify

Block[{$MaxExtraPrecision=1000},Accumulate[Table[c[n]PrimeZetaP[n]//N[#,50]&,{n,2,20}]]]//Chop

Exp[Last[%]]

ser=Series[Log[1+((3(p^2)-1)/(p(p+1)((p^2)-1)))],{p,∞,2010}][[3]];

Take[ser,10]

Block[{$MaxExtraPrecision=1000},
sums=Exp[Accumulate[N[Table[ser[[k]] PrimeZetaP[k+1],{k,2000}],300]]]
];//Timing

ListPlot[Log10[Abs[Last[sums]-sums]]]

N[Last[sums],-Log10[Abs[sums[[-1]]-sums[[-2]]]]-2]

-Log10[Abs[sums[[-1]]-sums[[-2]]]]-2