Degen's Eight-Square Identity

Author

Eric W. Weisstein
February 12, 2008

This notebook downloaded from http://mathworld.wolfram.com/notebooks/Algebra/DegensEight-SquareIdentity.nb.

For more information, see Eric's MathWorld entry http://mathworld.wolfram.com/DegensEight-SquareIdentity.html.

©2008 Wolfram Research, Inc. except for portions noted otherwise

Check

2-Square

FullSimplify[((Subscript[a, 1]^2)+(Subscript[a, 2]^2)) ((Subscript[b, 1]^2)+(Subscript[b, 2]^2))==((((Subscript[a, 2]) (Subscript[b, 1])+(Subscript[a, 1]) (Subscript[b, 2])))^2)+((((Subscript[a, 1]) (Subscript[b, 1])-(Subscript[a, 2]) (Subscript[b, 2])))^2)]

Euler 4-Square Identity

FullSimplify[((Subscript[a, 1]^2)+(Subscript[a, 2]^2)+(Subscript[a, 3]^2)+(Subscript[a, 4]^2)) ((Subscript[b, 1]^2)+(Subscript[b, 2]^2)+(Subscript[b, 3]^2)+(Subscript[b, 4]^2))==((((Subscript[a, 4]) (Subscript[b, 1])-(Subscript[a, 3]) (Subscript[b, 2])+(Subscript[a, 2]) (Subscript[b, 3])+(Subscript[a, 1]) (Subscript[b, 4])))^2)+((((Subscript[a, 3]) (Subscript[b, 1])+(Subscript[a, 4]) (Subscript[b, 2])+(Subscript[a, 1]) (Subscript[b, 3])-(Subscript[a, 2]) (Subscript[b, 4])))^2)+((((Subscript[a, 2]) (Subscript[b, 1])+(Subscript[a, 1]) (Subscript[b, 2])-(Subscript[a, 4]) (Subscript[b, 3])+(Subscript[a, 3]) (Subscript[b, 4])))^2)+((((Subscript[a, 1]) (Subscript[b, 1])-(Subscript[a, 2]) (Subscript[b, 2])-(Subscript[a, 3]) (Subscript[b, 3])-(Subscript[a, 4]) (Subscript[b, 4])))^2)]

8-Square

Expand[Subtract@@{(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2+g^2+h^2)(m^2+n^2+o^2+p^2+q^2+r^2+s^2+t^2),(a m-b n-c o-d p-e q-f r-g s-h t)^2+(b m+a n+d o-c p+f q-e r-h s+g t)^2+(c m-d n+a o+b p+g q+h r-e s-f t)^2+(d m+c n-b o+a p+h q-g r+f s-e t)^2+(e m-f n-g o-h p+a q+b r+c s+d t)^2+(f m+e n-h o+g p-b q+a r-d s+c t)^2+(g m+h n+e o-f p-c q+d r+a s-b t)^2+(h m-g n+f o+e p-d q-c r+b s+a t)^2}]

FullSimplify[((Subscript[a, 1]^2)+(Subscript[a, 2]^2)+(Subscript[a, 3]^2)+(Subscript[a, 4]^2)+(Subscript[a, 5]^2)+(Subscript[a, 6]^2)+(Subscript[a, 7]^2)+(Subscript[a, 8]^2)) ((Subscript[b, 1]^2)+(Subscript[b, 2]^2)+(Subscript[b, 3]^2)+(Subscript[b, 4]^2)+(Subscript[b, 5]^2)+(Subscript[b, 6]^2)+(Subscript[b, 7]^2)+(Subscript[b, 8]^2))-(((((Subscript[a, 8]) (Subscript[b, 1])-(Subscript[a, 7]) (Subscript[b, 2])+(Subscript[a, 6]) (Subscript[b, 3])+(Subscript[a, 5]) (Subscript[b, 4])-(Subscript[a, 4]) (Subscript[b, 5])-(Subscript[a, 3]) (Subscript[b, 6])+(Subscript[a, 2]) (Subscript[b, 7])+(Subscript[a, 1]) (Subscript[b, 8])))^2)+((((Subscript[a, 7]) (Subscript[b, 1])+(Subscript[a, 8]) (Subscript[b, 2])+(Subscript[a, 5]) (Subscript[b, 3])-(Subscript[a, 6]) (Subscript[b, 4])-(Subscript[a, 3]) (Subscript[b, 5])+(Subscript[a, 4]) (Subscript[b, 6])+(Subscript[a, 1]) (Subscript[b, 7])-(Subscript[a, 2]) (Subscript[b, 8])))^2)+((((Subscript[a, 6]) (Subscript[b, 1])+(Subscript[a, 5]) (Subscript[b, 2])-(Subscript[a, 8]) (Subscript[b, 3])+(Subscript[a, 7]) (Subscript[b, 4])-(Subscript[a, 2]) (Subscript[b, 5])+(Subscript[a, 1]) (Subscript[b, 6])-(Subscript[a, 4]) (Subscript[b, 7])+(Subscript[a, 3]) (Subscript[b, 8])))^2)+((((Subscript[a, 5]) (Subscript[b, 1])-(Subscript[a, 6]) (Subscript[b, 2])-(Subscript[a, 7]) (Subscript[b, 3])-(Subscript[a, 8]) (Subscript[b, 4])+(Subscript[a, 1]) (Subscript[b, 5])+(Subscript[a, 2]) (Subscript[b, 6])+(Subscript[a, 3]) (Subscript[b, 7])+(Subscript[a, 4]) (Subscript[b, 8])))^2)+((((Subscript[a, 4]) (Subscript[b, 1])+(Subscript[a, 3]) (Subscript[b, 2])-(Subscript[a, 2]) (Subscript[b, 3])+(Subscript[a, 1]) (Subscript[b, 4])+(Subscript[a, 8]) (Subscript[b, 5])-(Subscript[a, 7]) (Subscript[b, 6])+(Subscript[a, 6]) (Subscript[b, 7])-(Subscript[a, 5]) (Subscript[b, 8])))^2)+((((Subscript[a, 3]) (Subscript[b, 1])-(Subscript[a, 4]) (Subscript[b, 2])+(Subscript[a, 1]) (Subscript[b, 3])+(Subscript[a, 2]) (Subscript[b, 4])+(Subscript[a, 7]) (Subscript[b, 5])+(Subscript[a, 8]) (Subscript[b, 6])-(Subscript[a, 5]) (Subscript[b, 7])-(Subscript[a, 6]) (Subscript[b, 8])))^2)+((((Subscript[a, 2]) (Subscript[b, 1])+(Subscript[a, 1]) (Subscript[b, 2])+(Subscript[a, 4]) (Subscript[b, 3])-(Subscript[a, 3]) (Subscript[b, 4])+(Subscript[a, 6]) (Subscript[b, 5])-(Subscript[a, 5]) (Subscript[b, 6])-(Subscript[a, 8]) (Subscript[b, 7])+(Subscript[a, 7]) (Subscript[b, 8])))^2)+((((Subscript[a, 1]) (Subscript[b, 1])-(Subscript[a, 2]) (Subscript[b, 2])-(Subscript[a, 3]) (Subscript[b, 3])-(Subscript[a, 4]) (Subscript[b, 4])-(Subscript[a, 5]) (Subscript[b, 5])-(Subscript[a, 6]) (Subscript[b, 6])-(Subscript[a, 7]) (Subscript[b, 7])-(Subscript[a, 8]) (Subscript[b, 8])))^2))]